Question

2．如图，抛物线y=-x²+4x-3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）写出D点坐标（2，1）；
（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接BD，点E为BD上动点，点A关于∠AEB平分线的对称点为F，若△ABF面积是1，求EA-EB的值．

Answer 1

分析 （1）把抛物线配方化成顶点式y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，即可得出顶点D的坐标；
（2）作△ABC的外接圆交抛物线的对称轴于点P，圆心为Q，求出点A、B、C的坐标，得出△OBC是等腰直角三角形，得出BC的垂直平分线是直线y=-x，则直线y=-x与x=2交点为Q，得出Q（2，2），连接QA，根据勾股定理求出QA，即可得出点P的坐标；点P关于x轴的对称点为P′也是满足条件的点；
（3）由题意得出点F在EB的延长线上，且△AEF是等腰三角形，证明△ABD是等腰直角三角形，得出∠DBA=45°，证出△BFG是等腰直角三角形，由△ABF面积求出GF，得出BF，即可得出结果．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴顶点D的坐标为：（2，1），对称轴为：x=2；
故答案为：（2，1）；
（2）作△ABC的外接圆交抛物线的对称轴于点P，圆心为Q，如图1所示：
∵抛物线y=-x²+4x-3，当y=0时，-x²+4x-3=0，
解得：x=1，或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OB=3，
当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
∴OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BC的垂直平分线是直线y=-x，
则直线y=-x与x=2交点为Q，
∴Q（2，2），
连接QA，则QA=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴点P的坐标为：（2，-2-$\sqrt{5}$）；
点P关于x轴的对称点为P′（2，2+$\sqrt{5}$），
∴满足∠APB=∠ACB的点P的坐标为：（2，-2-$\sqrt{5}$），或（2，2+$\sqrt{5}$）；
（3）∵点A与F关于∠AEB的平分线对称，
∴点F在EB的延长线上，且△AEF是等腰三角形，EA=EF，
作FG⊥AB交x轴于点G，如图2所示：
∵DA²=DB²=1²+1²=2，AB²=（3-1）²=4，
∴DA²+DB²=AB²，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠DBA=45°，
∴△BFG是等腰直角三角形，
∵AB=2，△ABF面积是1，
∴$\frac{1}{2}$•AB•GF=1，
∴GF=1，
∴BF=$\sqrt{2}$，
∴EA-EB=EF-EB=BF=$\sqrt{2}$．

点评 本题是二次函数综合题目，考查了抛物线的顶点坐标的求法、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形性质、三角形的外接圆、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明等腰直角三角形和运用勾股定理才能得出结果．