Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是（ ）

A.等腰梯形B.矩形C.菱形D.正方形

Answer 1

【答案】C

【解析】

试题连接AC与BD，首先证得△AEC≌△DEB，即可得到AC=BD，然后利用三角形的中位线定理证得四边形MNPQ的对边平行且相等，并且邻边相等，从而证得四边形MNPQ是菱形．

证明：连接BD、AC；

∵△ADE、△ECB是等边三角形，

∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°；

∴∠AEC=∠DEB=120°；

在△AEC与△DEB中，

，

∴△AEC≌△DEB（SAS）；

∴AC=BD；

∵M、N是CD、AD的中点，

∴MN是△ACD的中位线，即MN=AC，

同理可证得：NP=DB，QP=AC，MQ=BD，

∴MN=NP=PQ=MQ，

∴四边形NPQM是菱形．

故选C．