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11.已知抛物线:y=x2-6mx+9m2-3(m是常数).
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点D;
(2)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴有两个不同的交点;
(3)设(2)中抛物线与x轴的两个不同交点为A、B,求证:不论m为何值,△ABD的面积为定值.

分析 (1)根据a=1可判断抛物线的开口方向,然后利用配方法可求得抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)根据抛物线的顶点坐标和抛物线开口方向即可判断;
(3)根据根与系数的关系、完全平方公式求得|x1=x2|=2$\sqrt{3}$,然后利用三角形的面积公式可求得△ABD的面积=3$\sqrt{3}$.

解答 解:(1)∵a=1,
∴抛物线的开口向下.
y=x2-6mx+9m2-3=(x-3m)2-3,
∴抛物线的对称轴为x=3m,顶点坐标为(3m,-3).
(2)∵抛物线顶点坐标为(3m,-3),
∴顶点在x轴下方.
又∵抛物线开口向上,
∴不论m为何值,该抛物线与x轴有两个不同的交点.
(3)由根与系数的关系可知:x1+x2=6m,x1x2=9m2-3.
∴AB=|x1=x2|=$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{(6m)^{2}-4(9{m}^{2}-3)}$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$.
∴△ABD的面积=$\frac{1}{2}×AB×|-3|$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3$=3$\sqrt{3}$.
∴不论m为何值,△ABD的面积为定值.

点评 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点问题,掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.

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