Question

5．如图，△ABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥x轴，AB平分∠CAO，二次函数y=ax²-5ax+4的图象经过△ABC的三个顶点．
（1）点B的坐标为（5，4），点A的坐标为（-3，0）；
（2）求二次函数的表达式；
（3）正方形EFGH的顶点E在线段AB上，顶点F在对称轴右侧的抛物线上，边GH在x轴上，求正方形EFGH的边长；
（4）在（3）的条件下，将正方形EFGH向左平移多少个单位时，点C与正方形EFHG顶点的连线所在直线将△ABC的面积二等分．

Answer 1

分析 （1）由点C与点B对称得出点B坐标，角平分线和平行得出∠CBA=∠CAB，根据等角对等边得AC=BC=5，根据勾股定理得出点A的坐标，并注意符号的书写；
（2）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（3）利用待定系数法求直线AB的表达式，设出点H的坐标（m，$\frac{1}{2}m+\frac{3}{2}$），由正方形边长相等表示出点F的坐标（$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$），因为点F在抛物线上，将F坐标代入到抛物线的表达式中，求出m的值，并根据顶点F在对称轴右侧的抛物线上取舍，计算出正方形EFGH的边长；
（4）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的二等分，先做出△ABC的中线CM，分四种情况讨论：正方形的四个顶点分别在中线上时，分别求出平移的距离．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴是x=$\frac{5}{2}$，C（0，4），
∴B（5，4），
∵AB平分∠CAO，
∴∠CAB=∠BAO，
∵BC∥x轴，
∴∠CBA=∠BAO，
∴∠CBA=∠CAB，
∴AC=BC=5，
由勾股定理得：OA=3，
∴A（-3，0）；
故答案为：（5，4），（-3，0）；
（2）把A（-3，0）代入y=ax²-5ax+4中得：a=-$\frac{1}{6}$，
∴二次函数的表达式是y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4；
（3）AB所在直线的表达式是y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，设点H的横坐标为m，
∴y_H=$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$，
∵四边形EFGH是正方形，
∴F（$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$），
把点F的坐标代入y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4中得：$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{6}$（$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{5}{6}$（$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$）+4，
解得：m₁=3，m₂=-3（舍去），
∴$\frac{1}{2}$×3+$\frac{3}{2}$=3，
∴正方形边长为3．
（4）分四种情况：①图1，线段AB的中点M（1，2），直线CM的表达式是y=-2x+4，当H在直线CM上时，正方形EFGH向左平移了1个单位；

②当点E在直线CM上时，如图2，正方形EFGH向左平移了$\frac{5}{2}$个单位；
③当点G在直线CM上时，如图2，正方形EFGH向左平移了4个单位；
④当点F在直线CM上时，如图2，正方形EFGH向左平移了$\frac{11}{2}$个单位；

点评 本题是二次函数与正方形平移的综合题，考查了利用对称性求抛物线上点的坐标，利用待定系数法求函数的表达式；还要注意三角形的中线将三角形的面积二等分；平移的距离可以利用坐标差来求．