Question

已知：如图，正方形ABCD中，点E是BA延长线上一点，连接DE，点F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G. DH平分∠ADE交CF于点H，连接BH.

（1）若DG=2，求DH的长；
（2）求证：BH+DH=CH.

Answer 1

（1） （2）证明DM＝BH，DM+DH=CH所以BH+DH=CH

试题分析：（1）∵DG⊥CF且DF＝CD
∴∠FDG=∠FDC 
∵DH平分∠ADE
∴∠FDH=∠ADF  2分
∴∠HDG=∠FDG-∠FDH=∠FDC-∠ADF
=（∠FDC-∠ADF）=∠ADC=45° 
∴△DGH为等腰直角三角形
∵DG=2，
∴DH＝  .
（2）过点C作CM⊥CH, 交HD延长线于点M

∵∠1+∠DCH=∠2+∠DCH=90⁰
∴∠1=∠2
又△DGH为等腰直角三角形
∴△MCH为等腰直角三角形
∴MC=HC
又∵四边形ABCD为正方形
∴CD＝CB
∴△MCD≌△HCB       
∴DM＝BH
又∵△MCH为等腰直角三角形
∴DM+DH=CH
∴BH+DH=CH    
点评：本题考查角平分线，全等三角形，解本题的关键是掌握角平分线的性质，熟悉全等三角形的判定方法，会证明三角形全等