Question

5．已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AB上一点．
（1）如图1，点F在AB上，CF=CE，求证：BE=AF．
（2）如图2，点P在AC的延长线上，PB=PE，ED⊥AC于D，求证：CP=AD；
（3）如图3，AE=AC，点O为AB的中点，点N在BC上，BN=2EO，求证：NE⊥AB．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC为等腰直角三角形，且AC=BC，得到∠A=∠B=45°，根据CE=CF，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形外角性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BCE与三角形ACF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）由PB=PE，利用等边对等角得到一对角相等，再由图形及外角性质得到∠PBC=∠EPD，由一对直角相等，利用AAS得到三角形PBC与三角形PED全等，利用全等三角形的对应边相等得到PC=ED，再由三角形AED为等腰直角三角形，得到ED=AD，等量代换即可得证；
（3）连接CO，由三角形ABC为等腰直角三角形，O为AB的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OB=OC=OA，设OB=1，表示出AB，BE，BN，得出对应边成比例且夹角相等，确定出三角形BEN与三角形ABC相似，利用相似三角形对应角相等得到∠BEN为直角，利用垂直的定义即可得证．

解答 证明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF，∠CFE分别为△BCE与△ACF的外角，
∴∠BCE=∠ACF，
在△BCE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴BE=AF；
（2）∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∵∠PBE=∠PBC+∠ABC，∠PEB=∠A+∠EPD，∠ABC=∠A=45°，
∴∠PBC=∠EPD，
在△PBC和△EPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBC=∠EPD}\\{∠BCP=∠PDE=90°}\\{PB=PE}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△EPD（AAS），
∴CP=ED，
∵△AED为等腰直角三角形，
∴ED=AD，
∴CP=AD；
（3）连接OC，
∵∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB，
∴∠B=∠A=45°，BO=CO=AO，
设BO=1，则AE=AC=BC=$\sqrt{2}$，BN=2EO=2（$\sqrt{2}$-1），BE=2-$\sqrt{2}$，
∴BE：BC=BN：BA=$\sqrt{2}$-1，
∵∠B=∠B，
∴△BEN∽△BCA，
∴∠BEN=∠BCA=90°，
则NE⊥AB．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．