Question

12．已知，如图，平面直角坐标系xOy中，线段AB∥y轴，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，AB=10．点P是线段AB上的一动点，当点P在线段AB上从点A向点B开始运动时，点B同时在x轴上从点C（4，0）向点O运动，点P、点B运动的速度都是每秒1个单位，设运动的时间为t（0＜t＜4）．

（1）用含有t的式子表示点P的坐标；
（2）当点P恰好在直线y=3x上时，求线段AP的长；
（3）在（2）的条件下，直角坐标平面内是否存在点D，使以O、P、A、D为顶点的四边形是等腰梯形．如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请简单说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意表示出BP，OB即可；
（2）由点P在直线y=3x上，建立方程求出t即可；
（3）分三种情况讨论计算，①当AP，OD为底时，AP∥OD，AD=OP，AP≠OD，②当OP，AD为底时，AP=OD，OD不平行AP，OP∥AD③当DP，OA为底时，AP=OD，AP不平行OD，PD∥OA，即可．

解答 解：（1）根据题意得，BP=AB-AP=10-t，OB=OC-BC=4-t，
∴P（4-t，10-t），
（2）由（1）得，P（4-t，10-t），
∴将P（4-t，10-t）代入y=3x，得t=1，
∴AP=1，
（3）∵以O、P、A、D为顶点的四边形是等腰梯形，
①如图1，

当AP，OD为底时，
∴AP∥OD，AD=OP，AP≠OD，
∴点D在y轴上，
设点D（0，a），
由（2）有，t=1，
∴A（3，10），P（3，9），
∴AD=$\sqrt{9+（{10-a）}^{2}}$，OP=$\sqrt{9+81}$
∴$\sqrt{9+（{10-a）}^{2}}$=$\sqrt{9+81}$，
∴a=19或a=1（∵AP=OD=1，∴舍）．
∴D（0，19），
②如图2，

当OP，AD为底时，
∴AP=OD，OD不平行AP，OP∥AD
∵点P在直线y=3x上，且点A（3，10），
∴直线AD解析式为y=3x+1，
设D（b，3b+1），
由（2）有，t=1，
∴A（3，10），P（3，9），
∴AP=1，OD=$\sqrt{{b}^{2}+（3b+1）^{2}}$，
∴1=$\sqrt{{b}^{2}+（3b+1）^{2}}$，
∴b=-$\frac{3}{5}$或b=0（∵OD∥AP，∴舍），
∴D（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
③如图3，

当DP，OA为底时，
∴AP=OD，AP不平行OD，PD∥OA，
∵A（3，10），
∴直线OA解析式为y=$\frac{10}{3}$x，
∵P（3，10），
∴直线PD解析式为y=$\frac{10}{3}$x-1，
设D（c，$\frac{10}{3}$c-1），
由（2）有，t=1，
∴A（3，10），P（3，9），
∴AP=1，OD=$\sqrt{{c}^{2}+（{\frac{10}{3}c-1）}^{2}}$，
∴1=$\sqrt{{c}^{2}+（{\frac{10}{3}c-1）}^{2}}$，
∴c=$\frac{60}{109}$或c=-1（∵AP∥OD，∴舍），
∴D（$\frac{60}{109}$，$\frac{91}{109}$），
∴符合条件的D（0，19）、（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$）、（$\frac{60}{109}$，$\frac{91}{109}$）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了点在直线上的特点，待定系数法求函数解析式，等腰梯形的性质，解本题的关键是分情况讨论计算，难点是画出满足题意的图形．