Question

9．如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且AP=5，BP的垂直平分线分别交AB、DC于E、F，点Q为垂足，则线段EQ：QF的值是$\frac{5}{11}$．

Answer 1

分析 过F作FG⊥AB于G，由四边形ABCD是正方形，得到∠C=∠ABC=90°，推出四边形FGBC是矩形，根据矩形的性质得到FG=BC，证得△ABP≌△EFG，根据全等三角形的性质得到EF=BP，根据勾股定理得到BP=$\sqrt{{8}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{89}$，根据相似三角形的性质得到EQ=$\frac{5\sqrt{89}}{16}$，即可得到结论．

解答 解：过F作FG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠ABC=90°，
∴四边形FGBC是矩形，
∴FG=BC，
∴FG=AB，
∵EF是BP的垂直平分线，
∴∠BQE=∠FGB，
∴∠EFG=∠ABP，
在△ABP与△EFG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EGF=∠A=90°}\\{AB=FG}\\{∠ABP=∠EFG}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△EFG，
∴EF=BP，
∵AB=8，AP=5，
∴BP=$\sqrt{{8}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{89}$，
∴EF=$\sqrt{89}$，
∴BQ=PQ=$\frac{\sqrt{89}}{2}$，
∵∠BQE=∠A=90°，∠ABP=∠QBE，
∴△ABP∽△QBE，
∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{EQ}{AP}$，即$\frac{\frac{\sqrt{89}}{2}}{8}=\frac{EQ}{5}$，
∴EQ=$\frac{5\sqrt{89}}{16}$，
∴QF=EF-QE=$\frac{11\sqrt{89}}{16}$，
∴EQ：QF=$\frac{5}{11}$．
故答案为：$\frac{5}{11}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得△ABP∽△QBE是解题的关键．