Question

7．如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA、PB、PO，若△POA的面积是△POB面积的$\frac{4}{3}$倍．
①求点P的坐标；
②点Q为抛物线对称轴上一点，请直接写出QP+QA的最小值；
（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）设出点P的坐标，①用△POA的面积是△POB面积的$\frac{4}{3}$倍，建立方程求解即可；②利用对称性找到最小线段，用两点间距离公式求解即可；
（3）分OB为边和为对角线两种情况进行求解，①当OB为平行四边形的边时，用MN∥OB，表示和用MN=OB，建立方程求解；
②当OB为对角线时，OB与MN互相平分，交点为H，设出M，N坐标用OH=BH，MH=NH，建立方程组求解即可．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（2，0），B（0，1），
∵抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4+2b+c=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$
∴抛物线解析式为y=-x²+$\frac{3}{2}$x+1，
（2）①由（1）知，A（2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
由（1）知，抛物线解析式为y=-x²+$\frac{3}{2}$x+1，
∵点P是第一象限抛物线上的一点，
∴设P（a，-a²+$\frac{3}{2}$a+1），（（a＞0，-a²+$\frac{3}{2}$a+1＞0），
∴S_△POA=$\frac{1}{2}$OA×P_y=$\frac{1}{2}$×2×（-a²+$\frac{3}{2}$a+1）=-a²+$\frac{3}{2}$a+1
S_△POB=$\frac{1}{2}$OB×P_x=$\frac{1}{2}$×1×a=$\frac{1}{2}$a
∵△POA的面积是△POB面积的$\frac{4}{3}$倍．
∴-a²+$\frac{3}{2}$a+1=$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{2}$a，
∴a=$\frac{3}{2}$或a=-$\frac{2}{3}$（舍）
∴P（$\frac{3}{2}$，1）；
②如图1，

由（1）知，抛物线解析式为y=-x²+$\frac{3}{2}$x+1，
∴抛物线的对称轴为x=$\frac{3}{4}$，抛物线与x轴的另一交点为C（-$\frac{1}{2}$，0），
∵点A与点C关于对称轴对称，
∴QP+QA的最小值就是PC=$\sqrt{5}$；
（3）①当OB为平行四边形的边时，MN=OB=1，MN∥OB，
∵点N在直线AB上，
∴设M（m，-$\frac{1}{2}$m+1），
∴N（m，-m²+$\frac{3}{2}$m+1），
∴MN=|-m²+$\frac{3}{2}$m+1-（-$\frac{1}{2}$m+1）|=|m²-2m|=1，
Ⅰ、m²-2m=1，
解得，m=1±$\sqrt{2}$，
∴M（1+$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$（1-$\sqrt{2}$））或M（1-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$））
Ⅱ、m²-2m=-1，
解得，m=1，
∴M（1，$\frac{1}{2}$）；
②当OB为对角线时，OB与MN互相平分，交点为H，
∴OH=BH，MH=NH，
∵B（0，1），O（0，0），
∴H（0，$\frac{1}{2}$），
设M（n，-$\frac{1}{2}$n+1），N（d，-d²+$\frac{3}{2}$d+1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+d}{2}=0}\\{\frac{-\frac{1}{2}n+1-{d}^{2}+\frac{3}{2}d+1}{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{d=1+\sqrt{2}}\\{n=-（1+\sqrt{2}）}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=1-\sqrt{2}}\\{n=-（1-\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，
∴M（-（1+$\sqrt{2}$），$\frac{1}{2}$（3+$\sqrt{2}$））或M（-（1-$\sqrt{2}$），$\frac{1}{2}$（3-$\sqrt{2}$））；
即：满足条件的点M的坐标（1+$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$（1-$\sqrt{2}$））或（1-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$））或（1，$\frac{1}{2}$）或M（-（1+$\sqrt{2}$），$\frac{1}{2}$（3+$\sqrt{2}$））或M（-（1-$\sqrt{2}$），$\frac{1}{2}$（3-$\sqrt{2}$））；

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，平行四边形的性质，对称性，解本题的关键是求抛物线解析式，确定最小值和点M坐标时，分类讨论是解本题的难点．