Question

10．探究问题：
（1）方法感悟：
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．
※感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AD与AB重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G、B、F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°，∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠EAF．
又 AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EA．
∴GF=EF，故 DE+BF=EF；
（2）方法迁移：
如图2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E、F分别为DC、BC边上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．试猜想DE、BF、EF之间有何数量关系，并证明你的猜想；
（3）问题拓展：
如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，E、F分别为DC、BC上的点，满足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

Answer 1

分析 （1）根据图形和推理过程填空即可；
（2）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，根据旋转的性质可得AH=AE，BH=DE，∠1=∠2，再求出∠HAF=∠EAF，再判断出点H、B、F三点共线，然后利用“边角边”证明△AEF和△AHF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=HF，再根据HF=BH+BF等量代换即可得证．
（3）根据角之间关系，只要满足∠B+∠D=180°时，就可以得出三角形全等，利用全等三角形的性质即可得出答案．

解答 解：（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，
由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°，
即∠GAF=∠EAF，
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF=EF，
故DE+BF=EF；
故答案为：EAF，△EAF，GF．
（2）EF=DE+BF，
如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，

由旋转可得，AH=AE，BH=DE，∠1=∠2，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠HAF=∠1+∠3=∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠HAF=∠EAF，
∵∠ABH+∠ABF=∠D+∠ABF=90°+90°=180°，
∴点H、B、F三点共线，
在△AEF和△AHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AE}\\{∠HAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF=HF，
∵HF=BH+BF，
∴EF=DE+BF．
（3）当∠B与∠D满足∠B+∠D=180°时，可使得DE+BF=EF．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，根据题意作出与已知相等的角，利用三角形全等是解决问题的关键．