Question

如图，A、B表示两个村庄，直线X表示高速公路，已知AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在高速公路旁修建一出口P.小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S₁=PA+PB；  图（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S₂=PA+PB.  

(1)求S₁ 、S₂ ,并比较它们的大小.
(2)请你说明S₂=PA+PB的值为最小.
(3)拟建的另一高速公路Y与高速公路X垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一出口P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

Answer 1

（1）﹥(2) S₂=BA'为最小(3) 四边形的周长为

试题分析：解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP="10,"
∴AC=30             
在Rt△ABC 中，AB="50" AC=30  ∴BC=40 
∴ BP=
S₁=         
图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，

又BC=40
∴BA'=
由轴对称知：PA=PA'
∴S₂=BA'=            
∴﹥                   
(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA'
∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B
∴S₂=BA'为最小        
（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，
连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求
过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,
A'B'=
∴所求四边形的周长为
点评：本题难度中等，主要考查学生学习了三角形即多边形等几何知识后综合运用能力。作辅助线分析是这类题型的解题关键。注意数形结合思想的培养，运用到考试中。