【题目】如图,已知AM∥BN,∠A=60°,点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.
(1)求∠CBD的度数;
(2)当点P运动时,∠APB:∠ADB的比值是否随之变化?若不变,请求出这个比值;若变化,请找出变化规律;
(3)当点P运动到某处时,∠ACB=∠ABD,求此时∠ABC的度数.
【答案】(1)60°;(2)不变,2:1,见解析;(3)30°
【解析】
(1)根据角平分线的定义只要证明∠CBD=∠ABN即可;
(2)不变.可以证明∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN=∠PBN;
(3)想办法证明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解决问题;
(1)∵AM∥BN,
∴∠ABN=180°-∠A=120°,
又∵BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=(∠ABP+∠PBN)=∠ABN=60°.
(2)不变.理由如下:
∵AM∥BN,
∴∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN,
又∵BD平分∠PBN,
∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB,即∠APB:∠ADB=2:1.
(3)∵AM∥BN,
∴∠ACB=∠CBN,
又∵∠ACB=∠ABD,
∴∠CBN=∠ABD,
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN,
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN,
∴∠ABC= ∠ABN=30°.
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【题目】如图,将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF,若△ABC的周长为16cm,則四辺形ABFD的周长为( )
A. 16cmB. 18cmC. 20cmD. 22cm
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【题目】如图1,若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形,则称这两个正方形为外展双叶正方形.
(1)发现:如图2,当∠C=90°时,求证:△ABC与△DCF的面积相等.
(2)引申:如果∠C90°时,(1)中结论还成立吗?若成立,请结合图1给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)运用:如图3,分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形,则称这三个正方形为外展三叶正方形.已知△ABC中,AC=3,BC=4.当∠C=_____°时,图中阴影部分的面积和有最大值是________.
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为( )
A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°
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【题目】已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,点E在边AD上(不与点A、D重合),∠CEB=45°,EB与对角线AC相交于点F,设DE=x.
(1)用含x的代数式表示线段CF的长;
(2)如果把△CAE的周长记作C△CAE,△BAF的周长记作C△BAF,设=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;
(3)当∠ABE的正切值是时,求AB的长.
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【题目】近年来,我国煤矿安全事故频频发生,其中危害最大的是瓦斯,其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现:从零时起,井内空气中CO的浓度达到4 mg/L,此后浓度呈直线型增加,在第7小时达到最高值46 mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中的CO浓度成反比例下降,如图,根据题中相关信息回答下列问题:
(1)求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式,并写出相应的自变量取值范围;
(2)当空气中的CO浓度达到34 mg/L时,井下3 km的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生?
(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时,才能回到矿井开展生产自救,求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?
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【题目】如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点O,∠EOB=115°,求∠AOC的度数.请补全下面的解题过程(括号中填写推理的依据).
解:∵OE⊥CD于点O(已知),
∴______(______).
∵∠EOB=115°(已知),
∴∠DOB=______=115°-90°=25°.
∵直线AB,CD相交于点O(已知),
∴∠AOC=______=25°(______).
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【题目】已知△ABC中,点D为BC的中点,BD=AB,AD⊥BC.
(1)如图1,求∠BAD的度数;
(2)如图2,点E为BC上一点,点F为AC上一点,连接AE、BF交于点G,若∠AGF=60°,求证:BE=CF;
(3)如图3,在(2)的条件下,点G为BF的中点,点H为AG上一点,延长BH交AC于点K,AK=HK,BM⊥AE交AE延长线于点M,BG=9,HM=10,求线段AG的长.
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【题目】如图:已知AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°
(1)如图①,当∠B=90°时,求证:DB=DC;
(2)如图②,如果∠ABD<90°时,(1)中的结论还成立吗?如果成立,请给出证明,如果不成立,请举反例说明;
(3)如图③,四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=1,则ABAC=___.
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