Question

14．如图，直线1与反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象在第一象限内交于A，B两点，交x轴于点C，若AB：BC=（m-1）：1（m＞1），则△OAB的面积（用m表示）为$\frac{{m}^{2}-1}{m}$．

Answer 1

分析 作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，根据相似三角形的判定得到△CAD∽△CBE，则CB：CA=BE：AD，而AB：BC=（m-1）：1（m＞1），则有AC：BC=m：1，AD：BE=m：1，若B点坐标为（a，$\frac{2}{a}$），则A点的纵坐标为$\frac{2m}{a}$，把y=$\frac{2m}{a}$代入得$\frac{2m}{a}$=$\frac{2}{x}$，易确定A点坐标为（$\frac{a}{m}$，$\frac{2m}{a}$），然后利用S_△OAB=S_△AOD+S_梯形ADEB-S_△BOE计算即可．

解答 解：作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，如图，
∵BE∥AD，
∴△CAD∽△CBE，
∴CB：CA=BE：AD，
∵AB：BC=（m-1）：1（m＞1），
∴AC：BC=m：1，
∴AD：BE=m：1，
设B点坐标为（a，$\frac{2}{a}$），则A点的纵坐标为$\frac{2m}{a}$，
∵点A在y=$\frac{2}{x}$上，
把y=$\frac{2m}{a}$代入得$\frac{2m}{a}$=$\frac{2}{x}$，
解得x=$\frac{a}{m}$，
∴A点坐标为（$\frac{a}{m}$，$\frac{2m}{a}$），
S_△OAB=S_△AOD+S_梯形ADEB-S_△BOE
=S_梯形ADEB
=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}$+$\frac{2m}{a}$）（a-$\frac{a}{m}$）
=（m+1）（1-$\frac{1}{m}$）
=$\frac{{m}^{2}-1}{m}$．
故答案为$\frac{{m}^{2}-1}{m}$．

点评 本题考查了反比例函数综合题：反比例函数y=$\frac{k}{x}$上的点的横纵坐标之积为k；运用比例的性质和相似三角形的判定与性质得到有关线段的比．