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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点Ax轴上,与y轴的交点B0-1),且b=-4ac

1)求点A的坐标;

2)求抛物线的解析式

3)在抛物线上是否存在一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在请说明理由;若存在,求出点C的坐标,并求出此时圆的圆心点P的坐标。

【答案】(1)A(-20);(2=--1;(3C存在点C的坐标为(-10,-16)或(-20),点P的坐标为(-5,- )或(-1,- ).

【解析】试题分析:

1)把点B0-1)代入解析式可解得: 代入可得由点A是抛物线顶点,∴其横坐标为,再由点A在横轴上得到其坐标为:

2)把点A代入解析式可得 结合1)中得到的可解得从而可得到解析式为

3如图,由题意可设符合条件的点C的坐标为,作CDx轴于点DCFy轴于点F,然后可在RtADCRtBCFRtAOB中利用勾股定理把AC2BC2AB2分别用含“x”的式子表达出来;由点A在以BC为直径的圆上,可得∠BAC=90°从而可由勾股定理建立方程解出“x”的值,就可得到点C的坐标了,最后利用线段的中点坐标公式就可以求出圆心P的坐标.

试题解析:

(1)把B0,-1)坐标

代入中,得=-1,

=-4,得=4

A为抛物线的顶点,其横坐标为=-

=-2,即点A的坐标为A(-20);

(2)把点A的坐标(-20)代入抛物线解析式中,

可得

4代入上式,得=-

=-1,

∴抛物线的解析式为: =--1;

(3)点C存在.

设符合题意的点C坐标为过点CCDx轴于点D,作CFy轴于点F,则在RtADCRtBCFRtAOB中,由勾股定理分别可得: A在以BC为直径的圆上,

∴∠BAC=90°

即: =5+

解得

C的坐标为

因为点P是以BC为直径的圆的圆心,点B的坐标为

由线段中点坐标公式可得当点C的坐标为时,点P的坐标为 当点C的坐标为时,点P的坐标为: .

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