【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点B(0,-1),且b=-4ac。
(1)求点A的坐标;
(2)求抛物线的解析式
(3)在抛物线上是否存在一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在请说明理由;若存在,求出点C的坐标,并求出此时圆的圆心点P的坐标。
【答案】(1)A(-2,0);(2)=---1;(3)点C存在,点C的坐标为(-10,-16)或(-2,0),点P的坐标为(-5,- )或(-1,- ).
【解析】试题分析:
(1)把点B(0,-1)代入解析式可解得: ,代入可得,由点A是抛物线顶点,∴其横坐标为,再由点A在横轴上得到其坐标为: ;
(2)把点A代入解析式可得: ,结合(1)中得到的可解得,从而可得到解析式为;
(3)如图,由题意可设符合条件的点C的坐标为,作CD⊥x轴于点D,CF⊥y轴于点F,然后可在Rt△ADC、Rt△BCF和Rt△AOB中利用勾股定理把AC2、BC2和AB2分别用含“x”的式子表达出来;由点A在以BC为直径的圆上,可得∠BAC=90°,从而可由勾股定理建立方程解出“x”的值,就可得到点C的坐标了,最后利用线段的中点坐标公式就可以求出圆心P的坐标.
试题解析:
(1)把B(0,-1)坐标
代入=++中,得=-1,
由=-4,得=4,
∵A为抛物线的顶点,∴其横坐标为=-,
∴=-2,即点A的坐标为A(-2,0);
(2)把点A的坐标(-2,0)代入抛物线解析式中,
可得,
把=4代入上式,得=-,
∴=-1,
∴抛物线的解析式为: =---1;
(3)点C存在.
设符合题意的点C坐标为,过点C作CD⊥x轴于点D,作CF⊥y轴于点F,则在Rt△ADC、Rt△BCF和Rt△AOB中,由勾股定理分别可得: , , ∵点A在以BC为直径的圆上,
∴∠BAC=90°,
∴,
即: =5+,
解得: ,
∴ C的坐标为或;
因为点P是以BC为直径的圆的圆心,点B的坐标为,
∴由线段中点坐标公式可得:①当点C的坐标为时,点P的坐标为: ;②当点C的坐标为时,点P的坐标为: .
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【题目】(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
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【题目】等边△ABC中,AO是BC边上的高,D为AO上一点,以CD为一边,在CD下方作等边△CDE,连接BE.
(1)求证:△ACD≌△BCE
(2)过点C作CH⊥BE,交BE的延长线于H,若BC=8,求CH的长.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AF平分∠BAC,交BD于点F.
(1)求证:;
(2)点A1、点C1分别同时从A、C两点出发,以相同的速度运动相同的时间后同时停止,如图,A1F1平分∠BA1C1,交BD于点F1,过点F1作F1E⊥A1C1,垂足为E,请猜想EF1,AB与三者之间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)在(2)的条件下,当A1E=6,C1E=4时,则BD的长为 .
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【题目】如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若AB=3,BC=4,求四边形OCED的面积.
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