Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标为O（0，0），A（2

3

，0），B（2

3

，2），把矩形OABC绕点O逆时针方向旋转α度，使点B正好落在y轴正半轴上，得到矩形OA₁B₁C₁．
（1）求角α的度数；
（2）求直线A₁B₁的函数关系式，并判断直线A₁B₁是否经过点B，为什么？

Answer 1

分析：（1）由于A（2

3

，0），B（2

3

，2），根据旋转知道A₁B₁=AB，OA=OA₁，然后利用三角函数可以求出∠A₁OB₁的度数，再求出α的度数；
（2）利用勾股定理求出OB的长度，也就求出了B₁O的长度，利用α的度数可以求出A₁的坐标，再利用待定系数法求出直线A₁B₁的函数关系式，也可以判断直线A₁B₁是否经过点B．

解答：解：（1）∵A（2

3

，0），B（2

3

，2），
∴A₁B₁=AB=2，OA=OA₁=2

3

，
∴tan∠A₁OB₁=A₁B₁：OA₁=2：2

3

=1：

3

，
∴∠A₁OB₁=30°，
∴α=60°；

（2）在Rt△A₁B₁O中，B₁O=

OA12+A1B12

=4，
∴B₁的坐标为（0，4），
如图过A₁作A₁E⊥OA于E，
∵α=60°，
∴A₁E=3，OE=

3

，
∴A（

3

，3），
设直线A₁B₁的解析式为y=kx+b，
依题意得

4=b 3= 3 k+b

，
∴k=-

3

3

，b=4，
∴y=-

3

3

x+4．
而B（2

3

，2），
代入解析式中，左边=2，右边=-

3

3

×2

3

+4=2；
左边=右边，
∴直线A₁B₁经过点B．

点评：此题把一次函数与矩形相结合，考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目．其中求α的度数是解题的突破口．