Question

如图，直线y=-

1

5

x+1与x轴交于B，与y轴交于A，点C在双曲线y=

k

x

上一点，且△ABC是以AB为底的等腰直角三角形，CD⊥AB于D，M、N分别是AC、BC上的一动点，且∠MDN=90°．下列结论：
①k=-4；②AM=CN；③AM²+BN²=MN²；④MN平分∠CND．
其中正确的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①③④

Answer 1

分析：首先求得A、B的坐标，进而利用待定系数法即可求得直线CD的解析式，然后根据AC⊥BC，则直线AC与直线BC的解析式的一次项次数互为负倒数即可求得C的坐标，从而利用待定系数法求得k的值；DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，易证△DEM≌△DFN，则②可以得证，然后利用待定系数即可证得③是正确的；
利用M，N的特殊位置说明④的正确性．

解答：解：在y=-

1

5

x+1中，令x=0，解得：y=1，则A的坐标是（0，1）；
令y=0，解得：x=5，则B的坐标是（5，0），
则D的坐标是：（

5

2

，

1

2

），
设直线CD的解析式是y=5x+b，代入（

5

2

，

1

2

）得：

25

2

+b=

1

2

，解得：b=-12，
则函数的解析式是：y=5x-12，
设C的横坐标是m，则纵坐标是5m-12，
则AC的斜率是：

5m-13

m

，BC的斜率是：

5m-12

m-5

，
则

5m-13

m

•

5m-12

m-5

=-1，
解得：m=3或2．
则C的坐标是：（3，3）（舍去）或（2，-2）．
把（2，-2）代入y=

k

x

得：k=-4．
故①正确；
作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F．
则DE⊥DF，且DE=DF，
∴∠DEF=∠MDN，
∴∠EDM=∠FDN，
在△DEM和△DFN中，

∠EDM=∠FDN DE=DF ∠DEM=∠DFN

，
∴△DEM≌△DFN．
∴DM=DM，EM=NF，
又∵等腰直角△ABD中，CD是中线，
∴AE=CE=CF=BF，
∴AM=CN，故②正确；
∵在直角△CMN中，CM²+CN²=MN²，
设AE=CE=CF=BF=x，EM=FN=y，
则MN²=CM²+CN²=（x-y）²+（x+y）²=2（x²+y²），
AM²+BN²=（x+y）²+（x-y）²=2（x²+y²），
则AM²+BN²=MN²③正确；
当N在B点时，M正好在C点，不会出现MN平分∠CND的情况，故④一定是错误的；
故选A．

点评：本题考查了反比例函数、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，正确求得C的坐标是关键．