Question

如图，PA=PB，OE⊥PA，OF⊥PB，则以下结论：①OP是∠APB的平分线；②PE=PF③CA=BD；④CD∥AB；其中正确的有____个．

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

A
分析：①通过证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的对应高相等求得OE=OF；再根据角平分线的性质证明OP是∠APB的平分线；
②由角平分线的性质证明PE=PF；
③通过证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的对应边相等求得CA=BD；
④通过证明△PCD∽△PAB，再根据相似三角形的性质对应角相等证得∠PDC=PBA；然后由平行线的判定得出结论CD∥AB．
解答：解：
连接OP、OC、OA、OD、OB、CD、AB．
∵PC•PA=PD•PB（相交弦定理），PA=PB（已知），
∴PC=PD，
∴AC=BD；
在△AOC和△BOD中，
∵∠AOC=∠BOD（等弦对等角），
OA=OB（半径），
OD=OC（半径），
∴△AOC≌△BOD，
∴③CA=BD；
OE=OF；
又∵OE⊥PA，OF⊥PB，
∴①OP是∠APB的平分线；
∴②PE=PF；
在△PCD和△PAB中，
PC：PA=PD：PB，
∠DPC=∠BPA，
∴△PCD∽△PAB，
∴∠PDC=PBA，
∴④CD∥AB；
综上所述，①②③④均正确，故答案选A．
点评：本题综合考查了等弦对等角，相交弦定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及平行线的判定．