Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC，垂足为点D．点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P从点B开始沿BC边向点C运动，速度为1cm/s，点Q从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x．
（1）当x为何值时，将△PCQ沿直线PQ翻折180°，使C点落到C′点，得到的四边形CQC′P是菱形；
（2）设△PQD的面积为y（cm²），当0＜x＜2.5时，求y与x的函数关系式；
（3）当0＜x＜2.5时，是否存在x，使得△PDM与△MDQ的面积比为5：3？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）PC=6-x，CQ=2x
要使四边形CQC′P是菱形，则PC=CQ
即6-x=2x得x=2
∴当x=2时，四边形CQC′P是菱形．（3）

（2）过点Q作QE⊥BC，垂足为E，
∵AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC
∴AD==4（cm）
∵QE∥AD
∴△QEC∽△ADC，
∴=即=，
∴QE=
又∵PD=3-x
∴y=PD•QE=（3-x）•x
即y=-x²+x（0＜x＜2.5）．（6）

（3）存在．理由如下
过点Q作QF⊥AD，垂足为F
∵S_△PDM：S_△MDQ=5：3
∴PM：MQ=PD：QF=5：3
在Rt△QEC中，EC==x
QF=DE=3-x
（也可由Rt△AEQ Rt△ADC，求得QF）（8）
∴=
解得x=2∴当x=2时，S_△PDM：S_△MDQ=5：3．
分析：（1）当PC=CQ时，根据图形翻折变换后与原图形重合，可以判断出此时形成的四边形是菱形．
（2）过点Q作QE⊥BC，由勾股定理可求出AD的值，再根据△QEC∽△ADC可用x表示出QE的长，再由三角形的面积公式即可求出y与x之间的函数关系式．
（3）过点Q作QF⊥AD，垂足为F，把三角形的面积比转化成高的比，再分别用x表示出两三角形的高，根据比值求出未知数的值即可．
点评：此题是典型的动点问题，涉及到菱形及相似三角形的性质，题中的（3）是开放性题目，解法不唯一．