Question

【题目】四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）
（1）如图1，若点G是线段CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，求证：△ABF≌△DAE．

（2）如图2，若点G是线段CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，判断线段EF与AF、BF的数量关系，并证明．

（3）若点G是直线BC上任意一点（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，探究线段EF与AF、BF的数量关系．（请画图、不用证明、直接写答案）

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠DAB=90°，

∴∠DAE+∠BAE=90°，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠AED=∠AFB=90°，

∴∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠BAF，

∵在△ABF和△DAE中

，

∴△ABF≌△DAE（AAS）

（2）

解：EF=AF+BF，

理由是：如图2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠DAB=90°，

∴∠DAE+∠BAF=180°﹣90°=90°，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠AED=∠AFB=90°，

∴∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠BAF，

∵在△ABF和△DAE中

，

∴△ABF≌△DAE（AAS）；

∴AE=BF，

∴EF=AE+AF=AF+BF

（3）

解：如图3所示：

∵BF⊥AG，DE⊥AG，

∴∠BFA=∠DEA=90°．

∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，

∴∠EAD=∠FBA．

在△ABF和△DAE中，

∵ ，

∴△ABF≌△DAE（AAS）．

∴FB=AE．

∵AE=EF+AF，

∴EF=BF﹣AF．

如图4，∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠BFA=∠DEA=90°．

∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，

∴∠EAD=∠FBA．

在△ABF和△DAE中，

∵ ，

∴△ABF≌△DAE（AAS）．

∴AE=BF．

∵AE+EF=AF，

∴EF=AF﹣BF；

如图5，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠BFA=∠DEA=90°．

∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，

∴∠EAD=∠FBA．

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（AAS）．

∴AE=BF．

∵AE+AF=EF，

∴EF=AF+BF．

【解析】（1）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=90°，根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可；（2）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=90°，根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可，根据全等得出AE=BF，代入即可求出答案；（3）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=90°，根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可，结合G点可能在BC延长线上以及在线段BC上和在CB延长线上分别得出答案．