Question

已知一元二次方程x²+ax+a-2=0．
（1）求证：不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设a＜0，当二次函数y=x²+ax+a-2的图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为？若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△=a²-4（a-2）=a²-4a+8=（a-2）²+4＞0，
∴不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：设x₁、x₂是y=x²+ax+a-2=0的两个根，则x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a-2，
∵两交点的距离是，
∴|x₁-x₂|==．
即：（x₁-x₂）²=13，
变形为：（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=13，
∴（-a）²-4（a-2）=13，
整理得：（a-5）（a+1）=0，
解方程得：a=5或-1，
又∵a＜0，
∴a=-1，
∴此二次函数的解析式为y=x²-x-3．

（3）解：设点P的坐标为（x₀，y₀），
∵函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，
∴AB=，
∴S_△PAB=AB•|y₀|=，
∴=
即：|y₀|=3，
解得：y₀=±3，
当y₀=3时，x₀²-x₀-3=3，即（x₀-3）（x₀+2）=0，
解此方程得：x₀=-2或3，
当y₀=-3时，x₀²-x₀-3=-3，即x₀（x₀-1）=0，
解此方程得：x₀=0或1，
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是（-2，3）或（3，3）或（0，-3）或（1，-3）．
分析：（1）由△=a²-4（a-2）=a²-4a+8=（a-2）²+4＞0，即可判定不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）首先设x₁、x₂是y=x²+ax+a-2=0的两个根，则x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a-2，由两交点的距离是，可得：（x₁-x₂）²=13，即可得（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=13，继而求得a的值；
（3）首先设点P的坐标为（x₀，y₀），由AB=，△PAB的面积为，即可求得y₀的值，继而求得P点坐标．
点评：此题属于二次函数的综合题，考查了根的判别式、根与系数的关系、两点间的距离公式以及点与二次函数的关系．此题难度较大，注意掌握方程思想的应用．