Question

如图，已知：四边形AEBD中，对角线AB和DE相交于点C，且AB垂直平分DE，AC=a，BC=b，CD=

ab

（其中a≥b＞0）．
（1）用尺规作图法作出以AB为直径的⊙O；（保留作图痕迹）
（2）求证：△ACD∽△DCB；
（3）判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（4）试估计代数式a+b和2

ab

的大小关系，并结合圆的有关知识，利用图形中线段的数量关系说明你的结论的正确性．

Answer 1

分析：（1）作AB的垂直平分线，那么此中垂线与AB的交点即为点O，然后以O为圆心，OA长为半径作圆即可．
（2）显然点D在圆上；首先根据AC、BC、CD的长，可得AC•BC=CD²，进而证明△DCA∽△BCD，
（3）求D是否在圆上，连接OD，如果证明了OD=OA=OB那么D就在圆上了，那么只要证明∠ADB是个直角就可以了，可通过证明△DCA∽△BCD，根据题目给出的条件，不难得出CD²=AC•CB，那么证明△DCA∽△BCD就容易多了；
（4）圆内长的弦是直径，那么AB≥DE，AB=a+b，DE=2DC=2

ab

，因此可得出：a+b≥2

ab

．

解答：解：（1）已知：线段AB，
求作：⊙O，且以AB为直径；
作法：①分别以A、B为圆心，大于

1

2

AB为半径作弧，交于M、N两点；
②连接MN，交AB于点O；
③以O为圆心，OA长为半径作圆．
结论：⊙O即为所求作的圆．

（2）证明：∵AC•BC=CD²，即

AC

CD

=

CD

BD

；
又∵∠DCA=∠DCB=90°，
∴△DCA∽△BCD，

（3）点D在⊙O上；
理由：由题意知：AC•BC=CD²，即

AC

CD

=

CD

BD

；
又∵∠DCA=∠DCB=90°，
∴△DCA∽△BCD，
∴∠DAC=∠BDC，又∵∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，即∠ADB=90°；
由圆周角定理知：点D在⊙O上．

（4）结论：a+b≥2

ab

；
由（2）知，点D、E都在⊙O上，∵AB是⊙O的直径，AB⊥DE，
∴DE=2DC=2

ab

，
∵AB≥DE，
∴a+b≥2

ab

．

点评：此题主要考查了线段垂直平分线的作法以及圆周角定理的应用，还涉及到相似三角形的判定和性质，要证明某点是否在圆上，只要连接这点和圆心再证明其长度等于半径即可．