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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．
    （1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；
    （2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
    （3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．
    【答案】分析：（1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OC、OD、OA的长，进而确定A、C、D三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式．
    （2）首先由A、B的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分．
    （3）该题的关键点是确定点P的位置，△APE的面积最大，那么S△APE=AE×h中h的值最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点．
    解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
    ∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；
    Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
    OA=AD-OD=2，即：
    A（-2，0）、B（-5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
    设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-3），得：
    2×（-3）a=4，a=-；
    ∴抛物线：y=-x2+x+4．

    （2）由A（-2，0）、B（-5，4）得直线AB：y1=-x-；
    由（1）得：y2=-x2+x+4，则：
    ，
    解得：，；
    由图可知：当y1＜y2时，-2＜x＜5．

    （3）∵S△APE=AE•h，
    ∴当P到直线AB的距离最远时，S△APE最大；
    若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；
    设直线L：y=-x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，
    -x+b=-x2+x+4，且△=0；
    求得：b=，即直线L：y=-x+；
    可得点P（，）．
    由（2）得：E（5，-），则直线PE：y=-x+9；
    则点F（，0），AF=OA+OF=；
    ∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．
    综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．
    点评：该题考查的是函数的动点问题，其中综合了特殊四边形、图形面积的求法等知识，找出动点问题中的关键点位置是解答此类问题的大致思路．
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    精英家教网如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    （2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
    5
    29
    5
    29
    ．

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    如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
    5
    5
    ．

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    如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
    k
    x
    图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
    k
    x
    的解析式为（　　）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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