Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠∠B．
（1）画出△ABC关于直线AC对称的△AGC；（不要求写画法）
（2）在AG边上找一点D，使得BD的中点E满足CE=AD．请利用直尺和圆规作出图形，并写出你的简要作图步骤；（只能利用直尺画直线不能测量线段长度）
（3）在（1）、（2）和未添加辅助线及其他字母的条件下，直接写出图中与∠ABC相等的角，要求该角以C点为顶点．

Answer 1

解：（1）所画△AGC见图．
（2）所画图形见图．
作图简要步骤如下：
（1）作AC的垂直平分线，交AC于F点．
（2）连接BF并延长，交AG于D点．
（3）作BD的垂直平分线，交BD于E点，连接CE．
则D点和E点为所求．
（3）在（1）、（2）和未添加辅助线及其他字母的条件下，图中以C点为顶点，且与∠ABC相等的角的是∠BCE．
分析：（1）延长BC到G，使CG=BG，然后连接AG即可；
（2）作AC的垂直平分线，交AC于F，连接BF并延长交AG于点D，再作BD的垂直平分线交BD于点E，连接CE，根据三角形的中位线定理，CE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠ECF，∠ADF=∠CEF，然后利用“角角边”可以证明△ADF和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可知CE=AD；
（3）根据轴对称性∠BAC=∠G，根据两直线平行，同位角相等可得∠G=∠BCE，所以与∠ABC相等且以C为顶点的角是∠BCE．
点评：本题考查了复杂作图，主要利用了轴对称的性质，全等三角的判定与性质，熟记性质与判定并掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键，本题难度较大．