Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，点D是AC延长线上一点，且∠DBC＝∠BAC，．

（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求的值；（3）如图，直径AC=5，，求△ABF面积．

Answer 1

【答案】（1）证明略；（2）；（3）△ABF的面积为.

【解析】

（1）连接OB．欲证明BD是切线，只要证明DB⊥OB即可；

（2）由△DBC∽△DAB，推出，在Rt△ABC中，由，推出，设CD＝a，则BD＝2a，AD＝4a，AC＝3a，由此即可解决问题；

（3）作AH⊥BF，连接OF，先根据及勾股定理求出AB=2，然后由三角函数求出BH=AH，再根据同角三角函数可求出HF=，最后根据三角形面积公式求解即可.

解：（1）如图，连接OB．

∵AC是直径，

∴∠ABC＝90°，

∵OB＝OA＝OC，

∴∠BAC＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，

∵∠BAC＝∠DBC，∠BAC＋∠BCA＝90°，

∴∠DBC＋∠OBC＝90°，

∴∠OBD＝90°，即OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切线．

（2）∵∠D＝∠D，∠DBC＝∠BAC，

∴△DBC∽△DAB，

∴，

在Rt△ABC中，∵，

∴，

设CD＝a，则BD＝2a，AD＝4a，AC＝3a，

∴．

（3）如图，作AH⊥BF，连接OF，

∵，

∴AB=2BC

∴，即，

解得：BC=（负值已舍去），

∴AB=2，

∵，AC是直径，

∴∠FOA=90°，

∴∠FBA=45°，

∴BH=AH=AB·cos45°=2·，

又∵∠BCA=∠BFA，

∴∠BAC=∠HAF，

∴，

∴HF=，

∴.