Question

已知函数y₁=x，y₂=x²+．
（Ⅰ）当自变量x=1时，分别计算函数y₁、y₂的值；
（Ⅱ）说明：对于自变量x的同一个值，均有y₁≤y₂成立；
（Ⅲ）是否存在二次函数y₃=ax²+bx+c同时满足下列两个条件：
①当x=-1时，函数值y₁≤y₃≤y₂； ②对于任意的实数x的同一个值，都有y₁≤y₃≤y₂，
若存在，求出满足条件的函数y₃的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当x=1时，y₁=1，y₂=1；

（2）
=
=
=，
∴y₁≤y₂；

（3）假设存在，使得y₁≤y₃≤y₂成立，
当x=-1时，y₃=0，y₁=-1，y₂=1，
∴a-b+c=0，
当x=1时，1≤a+b+c≤1，
∴a+b+c=1，
∴b=a+c=，
∴，
若x≤ax²+（a+c）x+c，即0≤ax²+（a+c-1）x+c
得，即①
若，即
得，即
由不等式①、②得：0＜a＜，（a-c）²≤0，，
∴满足条件的函数解析式为．
分析：（1）自己把x=1分别代入两个函数的解析式中计算即可求解；
（2）首先利用y₁-y₂，然后利用配方法证明y₁-y₂≤0即可求解；
（3）首先假设存在，使得y₁≤y₃≤y₂成立，由于当x=-1时，y₃=0，而y₁=-1，y₂=1，由此得到a-b+c=0，又当x=1时，1≤a+b+c≤1，由此得到a+b+c=1，所以b=a+c=，进一步得到，当x≤ax²+（a+c）x+c，即0≤ax²+（a+c-1）x+c，若，即，由此可以分别得到两个不等式组，解不等式组并且讨论即可解决问题．
点评：此题考查了二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有求二次函数的函数值和函数值的大小的比较．在求有关开放性问题时要注意分析题意分情况讨论结果．