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已知函数y1=x,y2=数学公式x2+数学公式
(Ⅰ)当自变量x=1时,分别计算函数y1、y2的值;
(Ⅱ)说明:对于自变量x的同一个值,均有y1≤y2成立;
(Ⅲ)是否存在二次函数y3=ax2+bx+c同时满足下列两个条件:
①当x=-1时,函数值y1≤y3≤y2; ②对于任意的实数x的同一个值,都有y1≤y3≤y2
若存在,求出满足条件的函数y3的解析式;若不存在,请说明理由.

解:(1)当x=1时,y1=1,y2=1;

(2)
=
=
=
∴y1≤y2

(3)假设存在,使得y1≤y3≤y2成立,
当x=-1时,y3=0,y1=-1,y2=1,
∴a-b+c=0,
当x=1时,1≤a+b+c≤1,
∴a+b+c=1,
∴b=a+c=

若x≤ax2+(a+c)x+c,即0≤ax2+(a+c-1)x+c
,即
,即
,即
由不等式①、②得:0<a<,(a-c)2≤0,
∴满足条件的函数解析式为
分析:(1)自己把x=1分别代入两个函数的解析式中计算即可求解;
(2)首先利用y1-y2,然后利用配方法证明y1-y2≤0即可求解;
(3)首先假设存在,使得y1≤y3≤y2成立,由于当x=-1时,y3=0,而y1=-1,y2=1,由此得到a-b+c=0,又当x=1时,1≤a+b+c≤1,由此得到a+b+c=1,所以b=a+c=,进一步得到,当x≤ax2+(a+c)x+c,即0≤ax2+(a+c-1)x+c,若,即,由此可以分别得到两个不等式组,解不等式组并且讨论即可解决问题.
点评:此题考查了二次函数的综合题,其中涉及到的知识点有求二次函数的函数值和函数值的大小的比较.在求有关开放性问题时要注意分析题意分情况讨论结果.
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