Question

已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，点E、F分别是BC和DC的中点，连接AE、EF和BD，AE和BD相交于点G．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）求证：四边形EFDG是菱形．

Answer 1

分析：（1）因为AD∥BC，若要四边形AECD是平行四边形，即证明AD=CE即可；
（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE=90°，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形．

解答：证明：（1）∵点E是BC的中点，
∴EC=BE=

1

2

BC，
∵BC=2AD，
∴EC=AD，
∵AD∥EC，
∴四边形AECD为平行四边形；

（2）连接DE，
∵AD∥BE，AD=BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵∠ABE=90°，
∴□ABED是矩形
∴BD=AE，GE=GA=

1

2

AE，GB=GD=

1

2

BD
∴GE=GD，
∵E、F分别是BC、CD的中点
∴EF、GE是△CBD的两条中位线，
∴EF=

1

2

BD=GD，GE=

1

2

CD=DF，
∴EF=GD=GE=DF，
∴四边形EFDG是菱形．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，矩形与菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．