Question

19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和ACFG，连接DC，FB，分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．

Answer 1

分析 设正方形ABDE和ACFG的边长分别为a、b；由正方形的性质得出AB=BD=DE=AE=a，AC=CF=FG=AG=b，AP∥DE，AQ∥GF，证出三角形相似，得出比例式，得出AP=$\frac{ab}{a+b}$，AQ=$\frac{ab}{a+b}$，即可得出结论．

解答 证明：设正方形ABDE和ACFG的边长分别为a、b；
∵四边形ABDE和ACFG是正方形，
∴AB=BD=DE=AE=a，AC=CF=FG=AG=b，AP∥DE，AQ∥GF，
∴△APC∽△EDC，△AQB∽△GFB，
∴$\frac{AP}{DE}$=$\frac{AC}{CE}$=$\frac{b}{a+b}$，$\frac{AQ}{GF}=\frac{AB}{BG}$=$\frac{a}{a+b}$，
∴AP=$\frac{ab}{a+b}$，AQ=$\frac{ab}{a+b}$，
∴AP=AQ．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．