Question

12．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点 A（-4，0）和点B（$\frac{9}{2}$，0）；
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是第一象限内抛物线上的一动点，点Q是射线OB上的一动点，过点Q作直线m⊥x轴，射线AP交直线m于点E，点F为直线m上的一点，连接AF、BF，且∠ABF=2∠PAB，过点B作射线AP的垂线，垂足为C，直线BC交直线AF于点D，将△ABF沿直线AF翻折得到△AFB′，点B的对应点B′恰好落在直线m上，求∠ADC的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，当直线m与y轴重合时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）由折叠的性质得出∠BAF=∠B'AF，∠ABF=∠AB'F，再用直角三角形的两锐角互余转化即可得出∠DAC=45°，即可；
（3）由折叠的性质得出AB'进而得出OB'即可得出点B'的坐标，再用角平分线定理得出点F的坐标，同样的道理得出点G的坐标，进而得出tan∠OBG=$\frac{1}{4}$，即可得出点E的坐标，用待定系数法求出直线AE解析式，最后直线AE解析式和抛物线解析式联立即可确定出点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点 A（-4，0）和点B（$\frac{9}{2}$，0）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{\frac{81}{4}a+\frac{9}{2}b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{6}}\\{b=\frac{1}{12}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{12}$x+3，
（2）∵将△ABF沿直线AF翻折得到△AFB′，
∴∠BAF=∠B'AF，∠ABF=∠AB'F，
∵∠ABF=2∠PAB，
∴∠AB'F=2∠PAB，
∵∠AB'F+∠B'AO=90°，
∴2∠PAB+∠B'AF+∠BAF=2∠PAB+2∠BAF=90°，
∴∠PAB+∠BAF=45°，
∴∠CAF=45°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC=45°．
（3）如图3，当直线m与y轴重合时，
由折叠知，BF=B'F，AB'=AB=$\frac{9}{2}$+4=$\frac{17}{2}$，
在Rt△AOB'中，OB'=$\sqrt{AB{'}^{2}-O{A}^{2}}$=$\frac{15}{2}$，
∴B'（0，-$\frac{15}{2}$）
设F（0，m），
∴OF=-m，B'F=m+$\frac{15}{2}$，
∵∠B'AF=∠OAF，
∴$\frac{OA}{AB'}=\frac{OF}{B'F}$，
∴$\frac{4}{\frac{17}{2}}=\frac{-n}{m+\frac{15}{2}}$，
∴m=-$\frac{12}{5}$，
∴F（0，-$\frac{12}{5}$），
∴BF=B'F=-$\frac{12}{5}$+$\frac{15}{2}$=$\frac{51}{10}$，
过点B作∠ABF的角平分线交y轴于G，
∴∠OBG=∠FBG=$\frac{1}{2}$∠ABF=∠BAP，
设G（0，n），
∴OG=-n，FG=n+$\frac{12}{5}$，
∵∠OBG=∠FBG，
∴$\frac{OB}{BF}=\frac{OG}{FG}$，
∴$\frac{\frac{9}{2}}{\frac{51}{10}}=\frac{-n}{n+\frac{12}{5}}$，
∴n=-$\frac{9}{8}$，
∴G（0，-$\frac{9}{8}$），
∴OG=$\frac{9}{8}$，
∴tan∠OBG=$\frac{OG}{OB}$=$\frac{\frac{9}{8}}{\frac{9}{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∵∠BAP=∠OBG，
∴tan∠BAP=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{OE}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴OE=1，
∴E（0，1），
∵A（-4，0），
∴直线AE的解析式为y=$\frac{1}{4}$x+1①，
∵点P是抛物线y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{12}$x+3②上，
联立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴P（3，$\frac{7}{4}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，直角三角形的性质，锐角三角函数，折叠的性质，角平分线定理，用角平分线定理得出OF和OG是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点．