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    （2012•东城区二模）已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC上，且∠MON=60°．
    （1）如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；
    （2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
    （3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．
    分析：（1）在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，根据等边三角形的性质和线段垂直平分线得出∠OCN=∠OAN′=30°，OC=OA，证△OCN≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS证△MON≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；
    （2）结论还成立，证明过程与（1）类似；
    （3）结论是MN=CN+AM，延长CA到N′，使AN′=CN，连接OC，OA，ON′，证△OCN≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS证△MON≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；
    解答：解：（1）MN=AM-CN，
    理由是：在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，
    ∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，
    ∴OC=OA，O也是等边三角形三个角的平分线交点，
    ∴∠OCA=∠OAB=∠OCN=
    1
    2
    ×60°=30°，
    ∴∠AOC=180°-30°-30°=120°，
    ∴∠NCO=∠OAN′，
    ∵在△OCN和△OAN′中
    OC=OA
    ∠NCO=∠OAN′
    AN′=CN
    ，
    ∴△OCN≌△OAN′（SAS），
    ∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，
    ∵∠COA=120°，∠NOM=60°，
    ∴∠CON+∠COM=60°，
    ∴∠AON′+∠COM=60°，
    即∠NOM=∠N′OM，
    ∵在△NOM和△N′OM中
    ON=ON′
    ∠NOM=∠N′OM
    OM=OM
    ，
    ∴△NOM≌△N′OM，
    ∴MN=MN′，
    ∵MN′=AM-AN′=AM-CN，
    ∴MN=AM-CN．

    （2）MN=AM-CN，
    证明：理由是：在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，
    ∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，
    ∴OC=OA，由三线合一定理得：∠OCB=OCA=∠OAC=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，
    ∴∠OCN=∠OAN′=30°，
    ∵在△OCN和△OAN′中
    OC=OA
    ∠NCO=∠OAN′
    AN′=CN
    ，
    ∴△OCN≌△OAN′（SAS），
    ∴ON=ON′，∠CON=∠AON′
    ∴∠N′ON=∠COA=120°，
    又∵∠MON=60°，
    ∴∠MON=∠MON′=60°
    ∵在△NOM和△N′OM中
    ON=ON′
    ∠NOM=∠N′OM
    OM=OM
    ，
    ∴△NOM≌△N′OM，
    ∴MN=MN′，
    ∵MN′=AM-AN′=AM-CN，
    ∴MN=AM-CN．

    （3）解：MN=CN+AM，
    理由是：延长CA到N′，使AN′=CN，连接OC，OA，ON′，
    ∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，
    ∴OC=OA，由三线合一定理得：∠OCA=∠OAB=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，
    ∴∠OCN=∠OAN′，
    ∵在△OCN和△OAN′中
    OA=OC
    ∠OCN=∠OAN′
    CN=AN′
    ，
    ∴△OCN≌△OAN′（SAS），
    ∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，
    ∵∠COA=120°，∠NOM=60°，
    ∴∠CON+∠AOM=60°，
    ∴∠AON′+∠AOM=60°，
    即∠NOM=∠N′OM，
    ∵在△NOM和△N′OM中
    ON=ON′
    ∠NOM=∠N′OM
    OM=OM
    ，
    ∴△NOM≌△N′OM，
    ∴MN=MN′，
    ∵MN′=AM+AN′=AM+CN，
    ∴MN=AM+CN．
    点评：本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力和猜想能力，题目具有一定的代表性，证明过程类似．
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