解:(1)证明:过点A作AM∥HF交BC于点M,作AN∥EG交CD的延长线于点N,
∴AM=HF,AN=BC,
在正方形ABCD中,AB=AD,∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°
∵EG⊥FH,
∴∠NAM=90°,
∴∠BAM=∠DAN,
在△ABM和△ADN中,∠BAM=∠DAN,AB=AD,∠ABM=∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM=AN,即EC=FH
(2)结论:EG:FH=3:2
证明:过点A作AM∥HF交BC于点M,作AN∥EC交CD的延长线于点N,
∴AM=HF,AN=EC,在长方形ABCD中,BC=AD,∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°,
∵EG⊥FH,
∴∠NAM=90°,
∴∠BAM=∠DAN.
∴△ABM∽△ADN.
,
∵AB=2,BC=AD=3,
∴
.
(3)解:过点A作AM∥HF交BC于点M,过点A作AN∥EG交CD于点N,
∵
.
∴在Rt△ABM中,BM=
.
将△AND绕点A顺时针旋转90°到△APB.
∵EG与FH的夹角为45°,
∴∠MAN=45°,
∴∠DAN+∠MAB=45°,即∠PAM=∠MAN=45°,
从而△APM≌△ANM,
∴PM=NM.
设DN=x,则NC=1-x,MN=PM=
.
在Rt△CMN中,
解得
.
∴
.
分析:(1)过点A作AM∥HF交BC于点M,作AN∥EG交CD的延长线于点N,利用正方形ABCD,AB=AD,∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°求证△ABM≌△ADN即可.
(2)过点A作AM∥HF交BC于点M,作AN∥EC交CD的延长线于点N,利用在长方形ABCD中,BC=AD,∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°求证△ABM∽△ADN.再根据其对应边成比例,将已知数值代入即可.
(3)过点A作AM∥HF交BC于点M,过点A作AN∥EG交CD于点N,将△AND绕点A顺时针旋转90°到△APB.从而求证△APM≌△ANM,得出PM=NM.再设DN=x,根据勾股定理列方程即可求解.
点评:此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识点的理解和掌握,综合性较强,难度较大,是一道难题.