Question

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的啦标为（-1，0），点B在抛物线上，
【小题1】点Ａ的坐标为__________,点Ｂ的坐标为___________;抛物线的解析式为_________;
【小题2】在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP是以AC为直角边向直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由
【小题3】若点D是(1)中所求抛物线在第三象限内的一个动点，连结BD、CD。当△BCD的面积最大时，求点D的坐标。

【小题4】若点P是(1)中所求抛物线上一个动点，以线段AB、BP为邻边作平形四边形ABPQ。当点Q落在x轴上时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

【小题1】Ａ（0，2）,B(-3,1).
【小题2】存在点Ｐ（点B除外），使三角形ＡＣＰ是以ＡＣ为直角边的直角三角形    4分
理由如下：
分情况讨论：
①延长ＢＣ交抛物线于点Ｐ，连结ＡＰ₁
因为∠ACB=90°,∴∠ACP=90°
设直线BC的解析式为y=kx+b
将Ｂ(-3,1),C(-1, 0)代入上式得
所以                         5分
联立方程组解得（不符合题意舍去）
所以：Ｐ₁（1，-1）                                         6分
②过点Ａ作ＡＰ₂//BC,交抛物线于点Ｐ₂，Ｐ₃
设直线ＡＰ₂的解析式为，将代入得
所以：
联立方程组解得：
所以：Ｐ₂（2，1），Ｐ₃（-4，4）
综上所述：存在点Ｐ₁（1，-1），Ｐ₂（2，1），Ｐ₃（-4，4）（点Ｂ除外），使三角形ＡＣＰ
是以ＡＣ为直角边的直角三角形                               7分
【小题3】设点Ｄ的坐标为（m,）,过点Ｄ作ＤＭ⊥x轴交直线ＢＣ于点Ｍ
所以点Ｍ的坐标为（m，），ＭＤ＝          8分
再设三角形ＢＣＤ的面积为Ｓ。
Ｓ＝＝       9分
因为Ｓ是m的二次函数，且抛物线开口向下，函数有最大值
即当m＝-1时Ｓ有最大值２
此时点Ｄ的坐标为（-1，-2）
【小题4】（1，-1）。（-2，-1）解析:
（1）根据勾股定理求点Ａ的坐标,点Ｂ的坐标，根据点Ｂ的坐标求抛物线的解析式
（２）根据延长ＢＣ交抛物线于点Ｐ，连结ＡＰ₁，或者过点Ａ作ＡＰ₂//BC,交抛物线于点
Ｐ₂，Ｐ₃构成的三角形进行解答
（3）设点Ｄ的坐标为（m,）,过点Ｄ作ＤＭ⊥x轴交直线ＢＣ于点Ｍ，求得ＭＤ＝，三角形ＢＣＤ的面积为,再根据二次函数的性质求出点D的坐标
(4)根据平形四边形的性质求出点P的坐标