分析 设$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$=k,利用比例的性质得到a+b-c=kc,aib+c=kb,-a+b+c=ka,将三式相加可以求得k=1,所以利用等量代换和约分可以求得所求代数式的值.
解答 解:设$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$=k,
所以a+b-c=kc ①,
a-b+c=kb ②,
-a+b+c=ka ③,
由①+②+③,得
a+b+c=k(a+b+c).
∵a+b+c≠0,
∴k=1.
∴a+b=2c,b+c=2a,c+a=2b.
∴$\frac{{({a+b})({b+c})({c+a})}}{abc}$=$\frac{2c×2a×2b}{abc}$=8.
点评 本题考查了比例的性质.解题是,涉入了一个中介k,利用比例的性质得到a+b=2c,b+c=2a,c+a=2b,通过约分求得代数式的值.
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