Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于F，交BC于E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，
（1）求∠ACB的度数；
（2）HE=

1

2

AF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可；
（2）证△ADF≌△BDC，推出AF=BC，求出HE=BE=CE，即可得出答案．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠BAC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=

1

2

（180°-∠BAC）=

1

2

（180°-45°）=67.5°．
（2）连结HB，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，BE=CE，
∴∠CAE+∠C=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠C=90°，
∴∠CAE=∠CBD，
∵BD⊥AC，D为垂足，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DBA=45°，
∴∠DBA=∠DAB，
∴DA=DB，
在Rt△BDC和Rt△ADF中，

∠BDC=∠ADF BD=AD ∠CAE=∠CBD

∴Rt△BDC≌Rt△ADF （ASA），
∴BC=AF，
∵DA=DB，点G为AB的中点，
∴DG垂直平分AB，
∵点H在DG上，
∴HA=HB，
∴∠HAB=∠HBA=

1

2

∠BAC=22.5°，
∴∠BHE=∠HAB+∠HBA=45°，
∴∠HBE=∠ABC-∠ABH=67.5°-22.5°=45°，
∴∠BHE=∠HBE，
∴HE=BE=

1

2

BC，
∵AF=BC，
∴HE=

1

2

AF．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，难度偏大．