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【题目】如图,在矩形ABCO中,点O为坐标原点,点B的坐标为(4,3),点A、C在坐标轴上,点P在BC边上,直线l1:y=2x+3,直线l2:y=2x﹣3.

(1)分别求直线l1与x轴,直线l2与AB的交点坐标;

(2)已知点M在第一象限,且是直线l2上的点,若△APM是等腰直角三角形,求点M的坐标;

【答案】(1)(-,0);(3,3);(2)点M的坐标为(),(2,1),().

【解析】(1)直线l1:当y=0时,2x+3=0,x=﹣

则直线l1与x轴坐标为(﹣,0)

直线l2:当y=3时,2x﹣3=3,x=3

则直线l2与AB的交点坐标为(3,3);

(2)①若点A为直角顶点时,点M在第一象限,连结AC,

如图1,∠APB>∠ACB>45°,

∴△APM不可能是等腰直角三角形,

∴点M不存在;

②若点P为直角顶点时,点M在第一象限,如图2,

过点M作MN⊥CB,交CB的延长线于点N,

则Rt△ABP≌Rt△PNM,

∴AB=PN=4,MN=BP,

设M(x,2x﹣3),则MN=x﹣4,

∴2x﹣3=4+3﹣(x﹣4),

x=

∴M();

③若点M为直角顶点时,点M在第一象限,如图3,

设M1(x,2x﹣3),

过点M1作M1G1⊥OA,交BC于点H1

则Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1

∴AG1=M1H1=3﹣(2x﹣3),

∴x+3﹣(2x﹣3)=4,

x=2

∴M1(2,1);

设M2(x,2x﹣3),

同理可得x+2x﹣3﹣3=4,

∴x=

∴M2);

综上所述,点M的坐标为(),(2,1),();

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