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    已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）

    （1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；

    （2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．

    （3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．

    （平面内两点间的距离公式）．

    考点：

    二次函数综合题．

    分析：

    （1）先将k=1，m=0分别代入，得出二次函数的解析式为y=x2，直线的解析式为y=x+1，联立，得x2﹣x﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C，证明△ABC是等腰直角三角形，根据勾股定理得出AB=AC，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB=；同理，当k=1，m=1时，AB=；

    （2）当k=1，m为任何值时，联立，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，同（1）可求出AB=；

    （3）当m=0，k为任意常数时，分三种情况讨论：①当k=0时，由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，联立，得x2﹣x﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=﹣1，同（1）求出AB=，则AB2=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出OA2+OB2=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形；③当k为任意实数时，联立，得x2﹣kx﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=k，x1•x2=﹣1，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB2=k4+5k2+4，OA2+OB2═k4+5k2+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形．

    解答：

    解：（1）当k=1，m=0时，如图．

    由得x2﹣x﹣1=0，

    ∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，

    过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．

    ∵直线AB的解析式为y=x+1，

    ∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，

    ∴AB=AC=|x2﹣x1|==；

    同理，当k=1，m=1时，AB=；

    （2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：

    由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，

    ∴x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，

    ∴AB=AC=|x2﹣x1|==；

    （3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：

    ①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，

    由，得A（﹣1，1），B（1，1），

    显然△AOB为直角三角形；

    ②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，

    由，得x2﹣x﹣1=0，

    ∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，

    ∴AB=AC=|x2﹣x1|==，

    ∴AB2=10，

    ∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22

    =x12+x22+y12+y22

    =x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2

    =x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）

    =2（x12+x22）+2（x1+x2）+2

    =2（1+2）+2×1+2

    =10，

    ∴AB2=OA2+OB2，

    ∴△AOB是直角三角形；

    ③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．

    由，得x2﹣kx﹣1=0，

    ∴x1+x2=k，x1•x2=﹣1，

    ∴AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2

    =（x1﹣x2）2+（kx1﹣kx2）2

    =（1+k2）（x1﹣x2）2

    =（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1•x2]

    =（1+k2）（4+k2）

    =k4+5k2+4，

    ∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22

    =x12+x22+y12+y22

    =x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2

    =x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）

    =（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2

    =（1+k2）（k2+2）+2k•k+2

    =k4+5k2+4，

    ∴AB2=OA2+OB2，

    ∴△AOB为直角三角形．

    点评：

    本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一元二次方程根与系数的关系，平面内两点间的距离公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定难度．本题对式子的变形能力要求较高，体现了由特殊到一般的思想．

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    4
    9
    x2-
    16
    9
    x+
    2
    9
    ．
    （I）求二次函数y1的解析式；
    （II）把y2化为y2=a（x-h）2+k的形式；
    （III）将y1的图象经过怎样的平移能得到y2的图象．

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    y=-x2+x（答案不唯一）
    y=-x2+x（答案不唯一）
    （写出一个即可）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    （1）若该函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），求m的值；
    （2）若该函数图象的对称轴是直线x=2，求m的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2
    （1）m满足什么条件时，二次函数的图象与x轴有两个交点？
    （2）设二次函数的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且
    x
    2
    1
    +
    x
    2
    2
    =5    ，它的顶点为M，求顶点M的坐标．

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