Question

11．如图，已知点A（0，4）和点B（3，0）都在抛物线y=mx²+2mx+n上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为D，点B的对应点为C，若四边形ABCD为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AC的交点为点E，x轴上的点F，使得以点C、E、F为顶点的三角形与△ABE相似，请求出F点坐标．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值．
（2）根据A、B的坐标，易求得AB的长；根据平移的性质知：四边形ABCD一定为平行四边形，若四边形ABCD为菱形，那么必须满足AB=BC，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．
（3）易求得直线AC的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到E点的坐标，进而可求出AB、AE、CE、BE的长；在（2）题中已经证得AB=BC，那么∠BAC=∠BCA，即A、C对应，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABE相似，可分两种情况考虑：①∠CEF=∠ABE，此时△CEF∽△ABE，②∠CFE=∠ABE，此时△CFE∽△ABE；根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的CF长，进而可求得F点的坐标．

解答 解：（1）由于抛物线经过A（0，4）和点B（3，0），则有$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{9m+6m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{4}{15}}\\{n=4}\end{array}\right.$．
故m=-$\frac{4}{15}$，n=4．

（2）由（1）得：y=-$\frac{4}{15}$x²-$\frac{8}{15}$x+4=-$\frac{4}{15}$（x+1）²+$\frac{64}{15}$；
由A （0，4）、B （3，0），可得AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
若四边形ABCD为菱形，则AB=BC=5，即C（8，0）；
故抛物线需向右平移5个单位，即：
y=-$\frac{4}{15}$（x+1-5）²+$\frac{64}{15}$=-$\frac{4}{15}$（x-4）²+$\frac{64}{15}$．

（3）如图，由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；
∵A（0，4），C（8，0），
∴直线AC：y=-$\frac{1}{2}$x+4；
当x=4时，y=2，故E（4，2）；
所以：AE=2$\sqrt{5}$，CE=2$\sqrt{5}$，BE=$\sqrt{5}$；
由（2）知：AB=BC=5，即∠BAC=∠BCA；
若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABE相似，则：
①∠CEF=∠ABE，则△CEF∽△ABE，可得：
$\frac{CE}{AB}$=$\frac{CF}{AE}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{CF}{2\sqrt{5}}$，CF=4，
此时F（4，0）；
②∠CFE=∠ABE，则△CFE∽△ABE，可得：
$\frac{CF}{AB}$=$\frac{CE}{AE}$，即$\frac{CF}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$，CF=5，
此时F（ 3，0）（不合题意舍去）．
综上所述，存在符合条件的F点，坐标为：F（4，0）．

点评 此题考查了二次函数综合题，涉及二次函数解析式的确定、函数图象的平移、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识；（3）题中，在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．