Question

8．如图，正方形ABCD的边长为a，E是BC上的一点，且AE=8，F是BD上一动点．
（1）试说明：AF=FC；
（2）设折线EFC的长为m，求m的最小值，并说明点F此时的位置．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得∠ADF=∠CDF=45°，DA=DC，则可根据“SAS”判定△ADF≌△CDF，所以AF=CF；
（2）点F运动到AE与BD的交点位置时，如图，由（1）得FA=FC，则FC+EF=AF+EF=AE，根据两点之间线段最短可判断此时FC+EF最小，计m的值最小，所以m的最小值=AE=8．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADF=∠CDF=45°，DA=DC，
在△ADF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADF=∠CDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDF，
∴AF=CF；
（2）点F运动到AE与BD的交点位置时，如图，
由（1）得FA=FC，
∴FC+EF=AF+EF=AE，
∴此时FC+EF最小，即m的值最小，
∴m的最小值=AE=8．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．也考查了全等三角形的判定与性质和最短路径问题．