Question

【题目】如图，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴正半轴交于点C，连接BC，P为线段AC上的动点，P与A，C不重合，作PQ∥BC交AB于点Q，A关于PQ的对称点为D，连接PD，QD，BD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点D在抛物线上时，求点P的坐标．

（3）设点P的横坐标为x，△PDQ与△ABC的重叠部分的面积为S

①直接写出S与x的函数关系式；

②当△BDQ为直角三角形时，直接写出x的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）点P的坐标（1，0）；（3）①当时，，当时，，②当为直角三角形时，x的值是或．

【解析】

（1）根据一次函数解析式求得A，B两点坐标，然后代入到二次函数解析式中，用待定系数法求函数解析式；

（2）设点P的坐标（x，0），由抛物线解析式求得C点坐标，由此求得∠BCO=45°，由平行线的和对称的性质求得∠QPA=∠BCO=45°，∠APD=90°，从而得到点D的坐标（x，x+3），然后根据点D在抛物线上列方程求解；

（3）①存在2种情况，一种是点D在BC的左侧，另一种是点D在BC的右侧，利用三角形相似与面积的关系可求得；

②分当∠QBD=90°和∠QDB=90°两种情况，结合勾股定理及平行线分线段成比例定理求解AP的长，从而求x的值．

解：（1）在y＝x+4中，令x=0则y=4，令y=0则x=-3

∴A（-3，0），B（0，4）

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点

∴

解得

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4

（2）设点P的坐标（x，0）

令y＝﹣x2+x+4=0

解得，

所以C（4，0）

∴OB=OC=4

∴∠BCO=45°

又∵ PQ∥BC且点A关于PQ的对称点为D，

∴∠QPA=∠DPQ=∠BCO=45°

∴∠APD=90°

又∵A（-3，0）

∴点D的坐标（x，x+3）,

由题意点D在抛物线上

∴x+3=﹣x2+x+4

解得

∵P与A，C不重合

∴点P的坐标（1，0）．

①当点D刚好在BC上时

∵B(0，4)，C(4，0)

∴直线BC的解析式为：y=-x+4

当点D刚好在BC上时，则D(x，-x+4)

∵PD=AP

∴-x+4=3+x，解得：x=

情况一：当点D在直线BC的左侧时，即当时，图形如下：

则

∵A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)

∴

∵QP∥BC

∴∠AQP=∠ABC

∵∠QAP=∠BAC

∴△AQP∽△ABC

∴

解得：，即

情况二：当点D在直线BC的右侧时，即当时，图形如下，QD交BC于点F，DP交BC于点E：

则

已求出

∵∠BCO=45°，∴∠QPA=∠QPD=45°

∴∠APD=90°，即DP⊥x轴

∴△PEC是等腰直角三角形

∴PE=PC=4-x

∵AP=x+3，∴PD=x+3

∴ED=DP-PE=2x-1

同理可知，∽△ABC

∴

解得：

∴-()=

即：

综上得：当时，，

当时，

②如图，连接AD，由对称性可知AD⊥PQ

∴点D必在过点A作BC的垂线上，设垂足为E

∴PQ∥BC

当∠QBD=90°时，

∴

，即

解得：，则AF=

∴

∴，即

解得：

∴

当∠BDQ=90°时，由上可知：，

∴根据勾股定理可得

如图，若PQ=5，QN=，

设QM=MP=a，则

∴由勾股定理可得

解得：

∴

即

∴，，

解得

∴

综上所述，x的值为或．