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如图1,已知点A(0,4)x轴正半轴上,且∠ABO=30°,动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动,设运动时间为t秒,在x轴上取两点M、N作等边△PMN.

(1)求直线AB的解析式;
(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当顶点M运动到与原点O重合时t的值;
(3)如图2,如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作矩形ODCE,点C在线段AB上,从点P开始运动到点M与原点O重合这一过程中,设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围.
【答案】分析:(1)已知点A的坐标知道OA的长度,在直角三角形中根据30°所对的直角边等于斜边的一半求出AB,根据勾股定理求出OB,从而求出B的坐标,最后利用待定系数法求出直线AB的解析式.
(2)由(1)已经求出AB的长,可以表示出BP的长,题目也告诉了∠ABO的度数,利用三角函数值就可以表示出MP长度,当M到达O点利用30°的直角三角形的特殊关系求出OP,利用勾股定理就可以求出AP,从而求出时间t.
(3)当点M与原点O重合时,点N与点D也是重合的,这时以PM是否过点E为分点分别计算重合部分的面积.将重合部分的面积用含t的式子表示出来就可以了.
解答:解:(1)∵A(0,4
∴OA=4
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,
∴tan∠ABO=,即tan30°==
∴BO=12,
∴B(12,0)
设直线AB的解析式为:y=kx+b,由题意得:

解得:
故直线AB的解析式为:y=-x+4

(2)∵△PMN为等边三角形,
∴∠PMO=60°,
∵∠ABO=30°,
∴∠PMO+∠ABO=90°,
∴∠MPB=90°,
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠ABO=30°,
∴AB=2AO=8
∴BP=AB-AP=8-t,
在Rt△MPB中,∠MPB=90°,tan∠ABO=
即tan30°==
∴MP=8-t,
当M与O重合时,在Rt△PBO中,∠ABO=30°,∠BPO=90°,
∴MP=OB=6,即8-t=6,
∴t=2;

(3)M与O点重合时PM=MN=6,此时N点与D点重合,如图2,
当PM过点E时,∠PMB=60°,∠MBA=30°,
∴∠MBA=∠ACE=30°,
∴∠EAP=60°,
∴∠AEP=30°,
∴AP=AE=
此时t=1;
当0≤t≤1时,设PN交EC于F,过F作FG⊥OB于G,FG=OE=2
∵∠PNM=60°,
∴GN==2,
∵PM=8-t,
∴BM=2PM=16-2t,
∴MO=BM-BO=4-2t,ON=MN-MO=t+4,EF=OG=ON-GN=t+2,
∴S=×2×(t+2+t+4)
=2t+6
当0<t≤2时,设PM、PN交EC于H、F,S=S梯形EONF-S△EHI
由(2)知:MO=4-2t,IO=MO=4-2t,
∴EI=EO-IO=2t-2,EH=EI=2t-2,
∴S△EHI=×(2t-2)×(2t-2)=2t2-4t+2
∴S=2t+6-2t2+4t-2=-2t2+6t+4
点评:本题考查了一次函数的综合试题,考查了运用待定系数法求函数的解析式,勾股定理的运用,三角函数的运用以及图形的面积公式,数学中的动点问题.此题难度较大,注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.
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,点B在x轴正半轴上,且∠ABO=30°,动点P在线段AB上从点A向点B以每秒
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个单位的速度运动,设运动时间为t秒,在x轴上取两点M、N作等边△PMN.
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