Question

【题目】如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，点E在线段AB上．
（1）求证：AE=BF，BF∥AC；
（2）若点D在直线AC上，且ED=EC（如图2），求证：AB=AD+BF；
（3）在（2）的条件下，若点E改为在线段AB的延长线上，其它条件不变（如图3），请直接写出AB、AD、BF之间的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，∵△ABC和△EFC都是等边三角形，

∴∠ACB=∠ECF=60°，AC=BC，CE=FC，

∴∠1=∠2，

在△ACE和△BCF中，

，

∴△ACE≌△BCF（SAS），

∴AE=BF，且∠BAC=∠FBC=60°，

又∠ABC=60°，

∴∠A+∠ABC+∠FBC=180°，即∠A+∠ABF=180°，

∴AC∥BF

（2）解：证明：如图2，过E作EM∥BC交AC于M，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠AEM=∠AME=60°，

∴△AEM是等边三角形，

∴AE=EM=AM，

∴∠DAE=∠EMC=120°，

∵DE=CE，

∴∠D=∠1，

在△ADE和△MCE中，

，

∴△ADE≌△MCE（AAS），

∴AD=CM，

由（1）得△ACE≌△FCB，

∴BF=AE=AM，

∵AC=AM+CM，

∴AC=BF+AD，

即AB=BF+AD

（3）解：AB、AD、BF之间的数量关系为：AB=BF﹣AD，

理由：如图3，过E作EM∥BC交AC的延长线于M，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠AEM=∠AME=60°，

∴△AEM是等边三角形，

∴AE=EM=AM，

∴∠DAE=∠EMC=60°，

∵DE=CE，

∴∠ADE=∠DCE，

∴∠ADE=∠ECM，

在△ADE与△MCE中，

，

∴△ADE≌△MCE（AAS），

∴AD=CM，

由（1）得△ACE≌△FCB，

∴BF=AE=AM，

∵AM=AC+CM，

∴AC=AM﹣CM，

∴AC=BF﹣AD，

即AB=BF﹣AD．

【解析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ECF=60°，AC=BC，CE=FC，推出△ACE≌△FCB，得到AE=BF且∠A=∠CBF=60°，于是得到∠A+∠ABF=180°，根据平行线的判定定理即可得到AC∥BF；（2）过E作EM∥BC交AC于M，得到△AEM是等边三角形，求得AE=EM=AM，∠DAE=∠EMC=120°，根据全等三角形的性质，得到AD=CM，由（1）得△ACE≌△FCB，得到BF=AE，进而推出AB=BF+AD；（3）过E作EM∥BC交AC的延长线于M，推出△AEM是等边三角形，根据等边三角形的性质，得到∠DAE=∠EMC=60°，推出∠ADE=∠ECM，根据全等三角形的性质，得到AD=CM，等量代换即可得到结论．
【考点精析】通过灵活运用平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补即可以解答此题．