Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D、P分别是AC、BC的中点，△ADE是等腰三角形，∠AED=90°，连接BE、EC．
（1）判断线段BE和EC的关系，并证明你的结论．
（2）连接PA、PE．过点A作AM∥PE，过点E作EM∥PA，AM和EM相交于点M，在图中先补充图形，再判断四边形PAME的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据AC=2AB，点D、P分别是AC、BC的中点，△ADE是等腰三角形，∠AED=90°，可证明△BAE≌△CDE，从而可得出结论．
（2）做完辅助线，根据过点A作AM∥PE，过点E作EM∥PA，可判断是平行四边形，再根据P是BC的中点，BC是Rt△BAC和Rt△BEC的斜边从而可证明是菱形．

解答：解：（1）BE=EC且BE⊥CE
证明：由已知AB=AD=DC，EA=ED，∠BAE=∠CDE=135°
∴△BAE≌△CDE．
∴BE=EC，∠BEA=∠CED．
∴∠BEC=∠BED+∠CED=∠BED+∠BEA=∠AED=90°，
∴BE⊥EC；（4分）

（2）四边形PAME是菱形（6分）
证明：∵AM∥PE，EM∥PA，
∴四边形PAME是平行四边形．
又∵P是BC的中点，BC是Rt△BAC和Rt△BEC的斜边，
∴PA=PE=

1

2

BC，
∴四边形PAME为菱形．（9分）

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定，以及直角三角形斜边上的中线的性质．