Question

【题目】如图，等边△ABC和等边△CDE，A、C、E三点在一条直线上，点M为AD中点，点N为BE中点，求证：△CMN是等边三角形.

Answer 1

【答案】见解析.

【解析】

根据等腰三角形的性质得到AC=BC,DC=EC,∠ACD=∠BCE=120°，可证△ACD≌△BCE（SAS），根据全等三角形的性质得到∠DAC=∠E BC，AD=BE，由M，N分别为AD，BE的中点，得到AM=BN，推出△ACM≌△BCN(SAS)，根据全等三角形的性质得到CM=CN，∠ACM =∠NCB，求出∠MCN=60°，即可得到结论．

证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形

∴AC=BC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE=180°-60°=120°，

∴△ACD ≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，

∵M、N是AD、BE的中点，

∴AM=BN，

又∵AC=BC，∠DAC=∠EBC，

∴△ACM≌△BCN(SAS)，

∴CM=CN，∠ACM =∠BCN，

∴∠MCB+ ∠ACM =∠MCB+∠BCN =60°，

即∠MCN=60°，
在△CMN中，CM=CN，∠MCN=60°，

∴△CMN是等边三角形．