Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分别是AB和BC上的点．把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B对应点是点B′

（1）如图1，点B′恰好落在线段AC的中点处，求CE的长；

（2）如图2，点B′落在线段AC上，当BD=BE时，求B′C的长；

（3）如图3，E是BC的中点，直接写出AB′的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）

【解析】

（1）设CE=x，则BE=6-x；在Rt△B'CE中，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可解决问题．

（2）如图2中，作B′H⊥AB于H．连接BB′．首先证明B′C=B′H，设B′C=B′H=x，构建方程即可解决问题．

（3）如图3中，连接AE，EB′，AB′．在△AB′E中，利用三角形长三边关系即可解决问题．

解：（1）如图1中，

∵点B′落在AC的中点，

∴CB′=AC=4，

设CE=x，则BE=6-x，

由折叠得：B'E=BE=8-x，

在Rt△B'CE中，由勾股定理得x2+42=(6-x)2

解得：x=，

即CE的长为．

（2）如图2中，作B′H⊥AB于H．连接BB′．

∵EB=EB′，DB=DB′，BE=BD，

∴BE=EB′=B′D=DB，

∴四边形BEB′D是菱形，

∴∠B′BD=∠B′BE，

∵B′C⊥BC，B′H⊥AB，

∴B′C=B′H，设B′C=B′H=x．

在Rt△ABC中，∵BC=6，AC=8，

∴AB==10，

∵S△ABC=S△BCB′+S△ABB′，

∴ACBC=BCx+×AB×x，

∴x=3，

∴CB′=3．

（3）如图3中，连接AE，EB′，AB′．

在Rt△ACE中，∵AC=8，EC=3，

∴AE==，

∵EB=EC=EB′=3，

∴AB′≥AE-BE′，

∴AB′≥-3，

∴AB′的最小值为-3．