Question

6．已知：正方形ABCD，E为平面内任意一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，连接EC，AG．
（1）当点E在正方形ABCD内部时，
①根依题意，在图1中补全图形；
②判断AG与CE的数量关系与位置关系并写出证明思路．
（2）当点B，D，G在一条直线时，若AD=4，DG=2$\sqrt{2}$，求CE的长．（可在备用图中画图）

Answer 1

分析 （1）①根据题意补全图形，
②先判断出∠GDA=∠EDC，进而得出△AGD≌△CED，即可得出AG=CE，最后判断出∠AFH=∠HDC=90°即可得出结论；
（2）分两种情况，①当点G在线段BD的延长线上时和②当点G在线段BD上时，构造直角三角形利用勾股定理即可得出结论．

解答
解：（1）当点E在正方形ABCD内部时，
①根依题意，补全图形如图1：
②AG=CE，AG⊥CE．
理由：
在正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵由DE绕着点D顺时针旋转90°得DG，
∴∠GDE=∠ADC=90°，GD=DE，
∴∠GDA=∠EDC
在△AGD和△CED中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠GDA=∠EDC}\\{DG=DE}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△CED，
∴AG=CE．

延长CE分别交AG、AD于点F、H，
由①中结论△AGD≌△CED，
∴∠GAD=∠ECD，
∵∠AHF=∠CHD，
∴∠AFH=∠HDC=90°，
∴AG⊥CE．

（2）

解：①当点G在线段BD的延长线上时，如图3所示．
过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠GDM=45°．
∵GM⊥AD，DG=2$\sqrt{2}$
∴MD=MG=2，
∴AM=AD+DM=6
在Rt△AMG中，由勾股定理，得
AG=$\sqrt{A{M}^{2}+M{G}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴CE=AG=2$\sqrt{10}$

②当点G在线段BD上时，如图4所示，
过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG=45°
∵GM⊥AD，DG=2$\sqrt{2}$
∴MD=MG=2，
∴AM=AD-MG=2
在Rt△AMG中，由勾股定理，得
AG=$\sqrt{A{M}^{2}+M{G}^{2}}$=2$\sqrt{2}$
∴CE=AG=2$\sqrt{2}$
故CE的长为2$\sqrt{2}$或2$\sqrt{10}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是判断出△AGD≌△CED，解（2）的关键是构造直角三角形，是一道中考常考题．