Question

在平面直角坐标系中，直线y=-

1

2

x+m（m＞0）与x轴，y轴分别交于点A，B，过点A作x轴的垂线交直线y=x于点D，C点的坐标（m，0），连接CD．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）连接BC交OD于点H（图2），求证：DH=

3

2

BC．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线y=-

1

2

x+m可以求出OB=m，OA=2m，由C点坐标（m，0），可以求出OC=m，求出AC=m，得AC=OB，由D点在直线y=x上可以知道OA=AD，从而证明△AOB≌△DAC，然后根据全等三角形对应角相等可得∠ABO=∠DCA，从而可以推出∠BAO+∠DCA=90°，即可得出结论；
（2）由（1）可得OC=OB，利用勾股定理求出BC的长度，根据OA=AD可得∠AOD=45°，根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求出OH、OD，从而求出DH的长，两者相比即可得证．

解答：证明：（1）∵y=-

1

2

x+m，
∴当x=0时，y=m，
当y=0时，-

1

2

x+m=0，解得x=2m，
∴点A、B的坐标是A（2m，0），B（0，m），
∴OA=2m，OB=m．
∵C点坐标（m，0），
∴OC=m，AC=2m-m=m，
∴AC=OB．
∵D点在直线y=x上，
∴OA=AD=2m，
又∵AD⊥x轴，
∴∠DAC=∠AOB=90°．
在△AOB与△DAC中，

OB=AC ∠AOB=∠DAC=90° OA=AD

，
∴△AOB≌△DAC（SAS），
∴∠ABO=∠DCA，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO+∠DCA=90°，
∴CD⊥AB；

（2）根据（1）的结论，OC=OB=m，
由勾股定理得BC=

OB2+OC2

=

m2+m2

=

2

m，
∵OA=AD=2m，
∴∠AOD=45°，
∴OH=

2

2

OC=

2

2

m，OD=

2

OA=2

2

m，
∴DH=OD-OH=2

2

m-

2

2

m=

3 2

2

m，
∴

DH

BC

=

3 2 2 m

2 m

=

3

2

，
∴DH=

3

2

BC．

点评：本题是一次函数综合题，其中涉及到一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，难度适中，熟记等腰直角三角形的直角边与斜边的关系可提高解题速度．