Question

如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D，若AC为∠BAD的平分线．
求证：（1）AB为⊙O的直径；（2）AC²=AB•AD．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证明AB是直径，只需连接BC，证明∠ACB=90°，根据弦切角定理和角平分线的定义发现三角形ABC和三角形ACD中的两个角对应相等，即可得到第三个角对应相等；
（2）根据（1）中的过程，显然发现两个三角形相似，根据相似三角形的对应边的比相等证明结论．
解答：证明：（1）连接BC，
AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB．
又CD切⊙O于点C，
∴∠ACD=∠B（弦切角定理）．
∵AD⊥CD，
∴∠ACD+∠DAC=90°．
即∠B+∠CAB=90°，∴∠BCA=90°．
∴AB是⊙O的直径（90°圆周角所对弦是直径）．

（2）∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC．
∴．
∴AC²=AB•AD．
点评：熟练运用弦切角定理和相似三角形的性质和判定．