Question

已知：如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE是⊙O的切线，过点D作DG⊥AB交圆于点G，
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若tan∠C=

2

3

，BE=2，求弦DG的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥DE，而∠A=∠ADO，BA=BC，得∠A=∠C，则∠ADO=∠C，得到DO∥BC，即可得到结论；
（2）连接BD，由AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，而DG⊥AB，得到DE=EG，∠FDB=∠A=∠C，利用三角函数的定义得到DG=2DF=2×

BF

tan∠C

=6．

解答：（1）证明：连接OD，如图，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C
∴∠ADO=∠C，
∴DO∥BC，
∴DE⊥BC；

（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵BA=BC，
∴AD=DC，
∴BD平分∠ABC，而DG⊥AB，
∴FB=BE=2，
Rt△DFB中，
∴∠FDB=90°-∠ABD=90°-∠CBD=∠C，
∴DG=2DF=2×

BF

tan∠C

=6．

点评：本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．也考查了平行线的性质以及三角形函数的定义．