Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D．

（1）填空：∠DBC=_________度；

（2）猜想：BC、AB、CD三者数量关系_____________________；

（3）证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）BC=AB+CD；（3）证明详见解析

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得出结果；
（2）通过观察可初步猜想BC=AB+CD；

（3）在线段BC上截取BE=BA，连接DE．先证明△ABD≌△EBD，再结合角度证明∠CDE=∠CED，从而有CD=CE，最后通过等量代换即可得出结果．

解：（1）∵AB=AC，∠A=108°，

∴∠ACB=∠ABC=×（180°-108°）=36°，
又BD平分∠ABC，

∴∠DBC=∠ABD=18°．

故答案为：18；

（2）BC=AB+CD．证明见（3），

故答案为：BC=AB+CD；

（3）证明：在线段BC上截取BE=BA，连接DE．

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中，

，

∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠BED=∠A=108°，∴∠DEC=72°，

又∵∠C=36°，

∴∠CED=∠CDE=72°，∴CD=CE，

∴BC=BE+EC=AB+CD．