Question

【题目】如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E是 BC边上任意一点， AEF 90°，且EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F．求证：AE=EF．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

截取BE＝BM，连接EM，求出AM＝EC，得出∠BME＝45°，求出∠AME＝∠ECF＝135°，求出∠MAE＝∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可．

证明：在AB上截取BM＝BE，连接ME，

∵∠B＝90°，

∴∠BME＝∠BEM＝45°，

∴∠AME＝135°

∵CF是正方形ABCD的外角的角平分线，

∴∠ECF=90°+∠DCF=90°+=135°＝∠ECF，

∵AEF 90°

∴∠AEB+=90°

又∠AEB+=90°，

∴

∵AB＝BC，BM＝BE，

∴AM＝EC，

在△AME和△ECF中

，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF．