Question

10．如图，已知Rt△ABC中，AC⊥BC，∠B=30°，AB=10，过直角顶点C作CA₁⊥AB，垂足为A₁，再过A₁作A₁C₁⊥BC，垂足为C₁，过C₁作C₁A₁⊥AB，垂足为A₂，再过A₂作A₂C₂⊥BC，垂足为C₂，…，这样一直做下去，得到了一组线段A₁C₁，A₂C₂，…，则A₁C₁=5×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²；则A₃C₃=5×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁶；则A_nC_n=5×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²ⁿ．

Answer 1

分析 首先求出∠A的度数和AC的长，根据角的正弦函数与三角形边的关系，可求出各边的长，然后再总结出规律．

解答 解：∵Rt△ABC中，AC⊥BC，∠B=30°，AB=10，
∴∠A=60°，AC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A₁C=AC×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵A₁C₁⊥BC，CA₁⊥AB，
∴∠A₁CC₁=∠A，
∴在Rt△A₁C₁C中，根据锐角三角函数得，
A₁C₁=5×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²，
以此类推，则A₃C₃=5×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁶；
∴A_nC_n，5×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²ⁿ；
故答案为：5×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²，5×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁶，5×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²ⁿ．

点评 本题主要考查了勾股定理/、直角三角形的性质、运用锐角三角函数表示未知的边及分析归纳能力；根据题意得出规律是解决问题的关键．